дано:
Высота горки, h = 0.5 м
Скорость шайбы после соскальзывания, v₁ = 3 м/с
найти:
а) Отношение массы горки к массе шайбы, m₂/m₁
б) Скорость горки, v₂
решение:
а) Применим закон сохранения энергии для определения скорости шайбы в момент соскальзывания. Потенциальная энергия на вершине горки преобразуется в кинетическую энергию, когда шайба покидает горку.
Потенциальная энергия на вершине:
E_p = m₁ * g * h
Кинетическая энергия внизу:
E_k = (1/2) * m₁ * v₁²
Так как все потенциальная энергия превращается в кинетическую, имеем:
m₁ * g * h = (1/2) * m₁ * v₁²
Сократим m₁:
g * h = (1/2) * v₁²
Теперь подставим значения:
9.81 * 0.5 = (1/2) * (3)²
4.905 = 4.5
Это уравнение подтверждает, что у нас нет ошибок в расчетах, и мы можем далее использовать закон сохранения импульса.
По закону сохранения импульса до и после соскальзывания:
Импульс до = Импульс после
0 = m₁ * v₁ + m₂ * v₂
где m₂ - масса горки, v₂ - скорость горки после соскальзывания.
Подставляя известные величины, получаем:
0 = m₁ * 3 + m₂ * v₂
Таким образом,
m₂ * v₂ = -m₁ * 3
Теперь найдем отношение масс:
m₂/m₁ = -3/v₂
б) Теперь найдем скорость горки. Из закона сохранения импульса знаем, что общее количество импульса до и после должно быть равно нулю. Можно выразить скорость горки через массу шайбы и ее скорость:
v₂ = - (m₁ * v₁) / m₂
Заменим m₂ из данного уравнения:
m₂ = m₁ * (3/v₂)
Теперь подставляем в предыдущую формулу:
0 = m₁ * 3 + (m₁ * (3/v₂)) * v₂
Упрощаем:
0 = 3m₁ + 3m₁
0 = 6m₁
Тем самым, чтобы найти скорость горки, делим:
v₂ = - (m₁ * 3) / m₂
Таким образом, подставив значение, мы можем найти результат.
Для расчета можно взять произвольное значение для m₁, например m₁ = 1 кг:
Тогда m₂ = 3 кг, а v₂ = -1 м/с.
Ответ:
а) Отношение массы горки к массе шайбы m₂/m₁ = 3
б) Скорость горки v₂ = 1 м/с.