Дано:
- Сопротивление резистора 1: R1 = 2 Ом
- Сопротивление резистора 2: R2 = 8 Ом
- Мощность тока в обоих резисторах одинакова.
Найти: внутреннее сопротивление источника тока r.
Решение:
Из условия задачи известно, что мощность в резисторе при подключении к источнику тока одинакова. Мощность на резисторе определяется по формуле:
P = I² * R,
где P — мощность, I — сила тока, R — сопротивление.
При подключении резисторов поочередно, мощность на каждом из них одинаковая. Следовательно:
P1 = P2,
где P1 — мощность на резисторе R1, P2 — мощность на резисторе R2.
Используем формулы для мощности:
I1² * R1 = I2² * R2.
Так как ток в цепи определяется по закону Ома, то для каждого случая:
I1 = E / (R1 + r),
I2 = E / (R2 + r),
где E — напряжение источника, r — внутреннее сопротивление источника.
Подставим эти выражения для тока в уравнение мощности:
(E / (R1 + r))² * R1 = (E / (R2 + r))² * R2.
Упростим уравнение:
(E² / (R1 + r)²) * R1 = (E² / (R2 + r)²) * R2.
E² можно сократить:
(R1 / (R1 + r)²) = (R2 / (R2 + r)²).
Теперь подставим значения сопротивлений R1 = 2 и R2 = 8:
(2 / (2 + r)²) = (8 / (8 + r)²).
Преобразуем уравнение:
2 * (8 + r)² = 8 * (2 + r)².
Раскроем скобки:
2 * (64 + 16r + r²) = 8 * (4 + 4r + r²).
Упростим:
128 + 32r + 2r² = 32 + 32r + 8r².
Переносим все на одну сторону:
128 + 32r + 2r² - 32 - 32r - 8r² = 0.
Упростим:
96 - 6r² = 0.
Решаем относительно r²:
6r² = 96,
r² = 96 / 6 = 16,
r = √16 = 4 Ом.
Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 4 Ом.