Дано:
- Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника: x = xmax * cos(ωt).
Найти:
а) Формулы для потенциальной и кинетической энергий, графики этих зависимостей.
б) Формула для полной энергии системы, график этой зависимости.
в) Циклическая частота изменения кинетической и потенциальной энергии.
г) Соотношение частот изменения кинетической и потенциальной энергий к частоте колебаний.
Решение:
а) Потенциальная энергия (U) пружины выражается как:
U = (1/2) * k * x^2,
где k — жесткость пружины. Подставим x из уравнения колебаний:
U = (1/2) * k * (xmax * cos(ωt))^2
= (1/2) * k * xmax^2 * cos^2(ωt).
Кинетическая энергия (K) груза выражается как:
K = (1/2) * m * v^2,
где v — скорость груза. Скорость можно выразить через производную от смещения:
v = dx/dt = -xmax * ω * sin(ωt).
Тогда кинетическая энергия будет равна:
K = (1/2) * m * (-xmax * ω * sin(ωt))^2
= (1/2) * m * xmax^2 * ω^2 * sin^2(ωt).
Графики зависимости потенциальной и кинетической энергий будут периодическими функциями, изменяющимися во времени по законам косинуса и синуса соответственно.
б) Полная энергия (E) системы «груз + пружина» сохраняется и равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
E = U + K
= (1/2) * k * xmax^2.
Полная энергия не зависит от времени и остается постоянной. График будет горизонтальной линией.
в) Циклическая частота изменения кинетической и потенциальной энергий совпадает с частотой колебаний самого маятника, которая равна ω.
г) Частота изменения кинетической энергии равна ω, так же как и частота изменения потенциальной энергии, следовательно:
Частота изменения кинетической энергии / частота колебаний = ω / ω = 1,
Частота изменения потенциальной энергии / частота колебаний = ω / ω = 1.
Ответ:
а) Формулы потенциальной и кинетической энергий:
U = (1/2) * k * xmax^2 * cos^2(ωt),
K = (1/2) * m * xmax^2 * ω^2 * sin^2(ωt).
Графики - периодичные функции.
б) Полная энергия E = (1/2) * k * xmax^2 (горизонтальная линия).
в) Циклическая частота изменения кинетической и потенциальной энергии равна ω.
г) Частоты изменения кинетической и потенциальной энергий равны частоте колебаний.