дано:
амплитуда колебаний xmax = 0,2 м
частота угловых колебаний ω = 4π рад/с
масса груза m = 0,5 кг
а) Запишите формулы, выражающие зависимость потенциальной и кинетической энергий колеблющейся системы от времени.
1. Потенциальная энергия U пружинного маятника определяется по формуле:
U(t) = (1/2) * k * x^2,
где k - жесткость пружины, которая может быть найдена из периода колебаний T:
T = 2π / ω, тогда k = m * ω^2.
Сначала найдем k:
T = 2π / (4π) = 0,5 с
k = m * ω^2 = 0,5 * (4π)^2 = 0,5 * 16π^2 ≈ 0,5 * 157.91 ≈ 78.96 Н/м.
Теперь подставим значение k в формулу для потенциальной энергии:
U(t) = (1/2) * 78.96 * (0,2 * cos(4πt))^2
U(t) = (1/2) * 78.96 * 0,04 * cos^2(4πt)
U(t) = (1/2) * 3.1584 * cos^2(4πt)
U(t) = 1.5792 * cos^2(4πt).
2. Кинетическая энергия K грузика определяется по формуле:
K(t) = (1/2) * m * v^2,
где скорость v = dx/dt = -xmax * ω * sin(ωt).
v(t) = -0,2 * (4π) * sin(4πt)
v(t) = -0,8π * sin(4πt).
Теперь подставляем v в формулу для кинетической энергии:
K(t) = (1/2) * 0,5 * (-0,8π * sin(4πt))^2
K(t) = (0,25) * (0,64π^2 * sin^2(4πt))
K(t) = 0,16π^2 * sin^2(4πt).
б) Теперь найдем полную энергию E колебательной системы. Полная энергия – это сумма потенциальной и кинетической энергий:
E = U + K.
Полная энергия при максимальном смещении (в положении равновесия) равна потенциальной энергии, когда вся энергия системы сосредоточена в ней. В этом случае максимальная потенциальная энергия равна:
E = (1/2) * k * xmax^2
E = (1/2) * 78.96 * (0,2)^2
E = (1/2) * 78.96 * 0,04
E = 1.5792 Дж.
График полной энергии будет постоянным значением, равным 1.5792 Дж.
ответ:
а) Потенциальная энергия: U(t) = 1.5792 * cos^2(4πt),
Кинетическая энергия: K(t) = 0.16π^2 * sin^2(4πt).
б) Полная энергия колебательной системы равна 1.5792 Дж и остается постоянной во времени.