Дано:
Радиус окружности: R = 20 см = 0.2 м
Касательное ускорение: a_t = 5 см/с² = 0.05 м/с²
Найти:
1. Время t_1, когда проекция полного ускорения будет равна касательной проекции.
2. Время t_2, когда проекция полного ускорения будет вдвое больше касательной.
Решение:
1. Полное ускорение a складывается из касательного ускорения a_t и центростремительного ускорения a_c. Центростремительное ускорение рассчитывается по формуле:
a_c = v² / R
где v — линейная скорость точки.
Полное ускорение:
a = sqrt(a_t² + a_c²)
2. Для нахождения времени t_1, когда a = a_t, подставим в уравнение:
a_t = sqrt(a_t² + a_c²)
Возводим обе стороны в квадрат:
a_t² = a_t² + a_c²
Это уравнение не имеет решения, так как a_c всегда положительно. Таким образом, проекция полного ускорения не может быть равна касательной проекции.
3. Теперь найдем время t_2, когда:
a = 2 * a_t
Подставим в уравнение:
2 * a_t = sqrt(a_t² + a_c²)
Возводим в квадрат:
(2 * a_t)² = a_t² + a_c²
4. Упрощаем уравнение:
4 * a_t² = a_t² + a_c²
3 * a_t² = a_c²
5. Подставим значение a_c:
3 * a_t² = (v² / R)²
6. Линейная скорость v связана с касательным ускорением:
v = a_t * t
7. Подставим в уравнение:
3 * a_t² = ((a_t * t)² / R)
8. Упрощаем:
3 * a_t² * R = a_t² * t²
9. Сократим a_t² (при условии, что a_t ≠ 0):
3 * R = t²
10. Теперь найдем время t:
t = sqrt(3 * R)
t = sqrt(3 * 0.2 м) ≈ sqrt(0.6) ≈ 0.7746 с
Ответ:
1. Проекция полного ускорения не может быть равна касательной проекции.
2. Проекция полного ускорения будет вдвое больше касательной через 0.775 с.