Дано: H = 25 км = 25 * 10^3 м T = 300 K R_м = 3400 км = 3.4 * 10^6 м M_м = 6 * 10^23 кг G = 6.67 * 10^-11 Н * м^2 / кг^2 R = 8.31 Дж / (моль * K)
Найти: M - молярная масса газа атмосферы
Решение:
Рассмотрим атмосферу как идеальный газ.
Давление атмосферы на высоте h определяется барометрической формулой: p(h) = p_0 * exp(-M * g * h / (R * T)), где p_0 - давление на поверхности, M - молярная масса, g - ускорение свободного падения на поверхности планеты, R - универсальная газовая постоянная, T - температура.
Из условия задачи сказано, что атмосфера имеет высоту 25 км. Считаем, что на высоте h = H давление практически равно нулю (атмосфера заканчивается): p(H) = p_0 * exp(-M * g * H / (R * T)) Если p(H) = 0, то экспонента должна стремиться к 0, это возможно только при значении аргумента -бесконечность. Но это не реально, поэтому будем считать что p(H) достаточно мало, и экспонента имеет значение близкое к нулю (например, exp(-5) = 0.0067 или exp(-10) = 0.000045). Тогда мы можем приравнять показатель экспоненты к значению примерно 1 (когда exp(-1) = 0.367). Это допустимо при оценке, чтобы прикинуть порядок. Тогда: M * g * H / (R * T) ~= 1 Здесь мы опускаем тот факт, что у нас не константа, а некая характеристическая высота.
Ускорение свободного падения на поверхности Марса: g = G * M_м / R_м^2 g = 6.67 * 10^-11 * 6 * 10^23 / (3.4 * 10^6)^2 = 6.67 * 6 / 3.4^2 * 10^12-11-12 = 11.58 / 11.56 * 10^0 = ~3.7 м/с^2
Выразим молярную массу из уравнения (3) M = R * T / (g * H) M = 8.31 * 300 / (3.7 * 25 * 10^3) = 2493 / (92500) = 0.02695 кг/моль = 26.95 г/моль Надо понимать, что такое решение является приближенным, и для более точного результата нужен более детальный анализ с учетом изменения давления и плотности атмосферы с высотой.
Ответ: M = 0.027 кг/моль = 27 г/моль