дано:
- Масса препарата Ро-210: m = 1 мг = 1 * 10^-6 кг.
- Теплоемкость калориметра: C = 8 Дж/К.
- Период полураспада Ро-210: T = 138 суток.
- Масса атома полония-210: M_Po = 209,98287 а.е.м. = 209,98287 * 1,66 * 10^-27 кг (где 1 а.е.м. = 1,66 * 10^-27 кг).
- Масса атома свинца-206: M_Pb = 205,97447 а.е.м. = 205,97447 * 1,66 * 10^-27 кг.
найти:
- На сколько поднимется температура в калориметре за один час.
решение:
1. Сначала найдем массу атомов полония и свинца в килограммах:
M_Po = 209,98287 * 1,66 * 10^-27 ≈ 3,48 * 10^-25 кг,
M_Pb = 205,97447 * 1,66 * 10^-27 ≈ 3,42 * 10^-25 кг.
2. Найдем выделяемую при распаде энергию. Энергия распада определится как разность масс полония и свинца с учетом массы альфа-частицы:
Масса альфа-частицы: M_alpha = 4,00260 а.е.м. = 4,00260 * 1,66 * 10^-27 кг ≈ 6,64 * 10^-27 кг.
Энергия E_р = (M_Po - M_Pb - M_alpha) * c^2,
где c = 3 * 10^8 м/с — скорость света.
Подставим значения:
delta_m = 3,48 * 10^-25 - 3,42 * 10^-25 - 6,64 * 10^-27 ≈ 4,97 * 10^-28 кг.
E_r = (4,97 * 10^-28) * (3 * 10^8)^2 ≈ 4,47 * 10^-11 Дж.
3. Теперь найдем количество распадов за один час. Для этого используем формулу:
N = N_0 * (1/2)^(t/T),
где N_0 – начальное количество ядер, t – время, T – период полураспада.
4. Сначала найдем N_0, используя массу Rо-210:
n_0 = m / M_Po = (1 * 10^-6) / (3,48 * 10^-25) ≈ 2,87 * 10^18 ядер.
5. Теперь найдем количество распадов за один час (3600 секунд):
t = 3600 секунд,
T = 138 суток * 86400 секунд/сутки ≈ 11966400 секунд.
Используем уравнение для количества ядер после времени t:
N = N_0 * (1/2)^(3600/11966400).
Приблизительно:
N ≈ N_0 * e^(-λt), где λ = ln(2)/T.
Подставляем значение λ:
λ = ln(2) / 11966400 ≈ 5,79 * 10^-10 с^-1.
6. Тогда:
N ≈ n_0 * e^(-5,79 * 10^-10 * 3600).
Приблизительно:
N ≈ 2,87 * 10^18 * e^(-2,09) ≈ 2,87 * 10^18 * 0,123 = 3,53 * 10^17 распадов.
7. Количество выделившейся энергии за один час:
E_total = N * E_r ≈ 3,53 * 10^17 * 4,47 * 10^-11 ≈ 1,57 * 10^7 Дж.
8. Найдем изменение температуры в калориметре:
ΔT = E_total / C.
Подставляя значения:
ΔT = (1,57 * 10^7) / 8 ≈ 1,96 * 10^6 К.
ответ:
Температура в калориметре поднимется примерно на 1,96 * 10^6 К за один час.