Дано:
- Длина волны падающего света λ₁ = 400 нм = 400 × 10⁻⁹ м
- Частота света в два раза увеличилась, значит, новая частота f₂ = 2f₁
- Запирающее напряжение увеличилось в 4 раза, то есть U₂ = 4U₁
- Постоянная Планка h = 6,626 × 10⁻³⁴ Дж·с
- Скорость света c = 3 × 10⁸ м/с
- Энергия фотона E = hf, где h — постоянная Планка, f — частота
Найти:
- Красную границу фотоэффекта, то есть длину волны λ₀, при которой фотон не может выбить электрон (U = 0).
Решение:
1. Энергия фотона для начальной частоты f₁:
E₁ = h × f₁
2. Энергия фотона для новой частоты f₂:
E₂ = h × f₂ = h × 2f₁ = 2 × E₁
3. Энергия, необходимая для того, чтобы выбить электрон из металла, зависит от работы выхода W = h × f₀, где f₀ — частота, соответствующая красной границе (то есть минимальной частоте, при которой фотоэффект возможен).
4. Энергия фотона на красной границе фотоэффекта равна работе выхода: E₀ = W = h × f₀
5. Закон фотоэффекта: U = (E₁ - W) / e, где e — заряд электрона (e = 1,602 × 10⁻¹⁹ Кл).
6. Из условия задачи известно, что при увеличении частоты в 2 раза запирающее напряжение увеличилось в 4 раза. То есть:
(U₂ / U₁) = 4
Подставим выражения для напряжений:
[(E₂ - W) / e] / [(E₁ - W) / e] = 4
Упростим:
(E₂ - W) / (E₁ - W) = 4
7. Подставим E₂ = 2 × E₁:
(2 × E₁ - W) / (E₁ - W) = 4
8. Умножим на (E₁ - W):
2 × E₁ - W = 4 × (E₁ - W)
Раскроем скобки:
2 × E₁ - W = 4 × E₁ - 4 × W
Переносим все в одну сторону:
2 × E₁ - W - 4 × E₁ + 4 × W = 0
Упрощаем:
-2 × E₁ + 3 × W = 0
3 × W = 2 × E₁
W = (2 × E₁) / 3
9. Теперь, используя E₁ = h × f₁ и f₁ = c / λ₁, можем выразить работу выхода W:
W = (2 × h × c / λ₁) / 3
Подставим данные:
W = (2 × 6,626 × 10⁻³⁴ × 3 × 10⁸) / (3 × 400 × 10⁻⁹)
W ≈ 1,33 × 10⁻¹⁹ Дж
10. Теперь найдем частоту на красной границе f₀:
f₀ = W / h = (1,33 × 10⁻¹⁹) / (6,626 × 10⁻³⁴) ≈ 2 × 10¹⁴ Гц
11. Длина волны на красной границе фотоэффекта λ₀ связана с частотой f₀ через скорость света:
λ₀ = c / f₀ = (3 × 10⁸) / (2 × 10¹⁴) = 1,5 × 10⁻⁶ м = 1500 нм
Ответ:
Красная граница фотоэффекта для данного металла равна 1500 нм.