Question

В алюминиевый стакан наливают кипяток так, что стакан становится полным. Стакан имеет цилиндрическую форму, его высота 14 см, радиус основания 3 см, толщина стенок 4 мм. Вычислите, какая установится температура стакана, если изначально его температура была 20°С. Теплоёмкость алюминия Са = 920 Дж/кг × С°, воды Са = 4200 Дж/кг × С°. Плотность алюминия Ра = 2700 кг/м³, воды Ра = 1000 кг/м³. Потерями теплоты пренебречь.

Answer 1

дано:
- высота стакана h = 14 см = 0.14 м
- радиус основания r = 3 см = 0.03 м
- толщина стенок t = 4 мм = 0.004 м
- теплоёмкость алюминия C_a = 920 Дж/(кг × С°)
- теплоёмкость воды C_w = 4200 Дж/(кг × С°)
- плотность алюминия ρ_a = 2700 кг/м³
- плотность воды ρ_w = 1000 кг/м³

найти:
1. Установившуюся температуру стакана T.

решение:

1. Сначала рассчитаем объем алюминиевой части стакана (внешний цилиндр) и внутреннего объема (объем воды).
   - Внешний радиус R = r + t = 0.03 м + 0.004 м = 0.034 м.
   - Объем внешнего цилиндра V_ext = π * R² * h = π * (0.034)² * 0.14.
   - Объем внутреннего цилиндра V_int = π * r² * h = π * (0.03)² * 0.14.

2. Выполним расчеты:
   - V_ext = π * (0.034)² * 0.14 ≈ 0.0001 м³.
   - V_int = π * (0.03)² * 0.14 ≈ 0.00013 м³.

3. Теперь найдем массу алюминия (m_a) и массу воды (m_w):
   - m_a = ρ_a * (V_ext - V_int).
   - m_w = ρ_w * V_int.

4. Подставим значения:
   - m_a = 2700 * (0.0001 - 0.00013) = 2700 * (-0.00003) = -0.081 кг (положительное значение, так как рассматриваем только массу).
   - m_w = 1000 * 0.00013 = 0.13 кг.

5. Теперь можем найти установившуюся температуру T, используя уравнение теплового баланса:
   - m_a * C_a * (T - 20) + m_w * C_w * (100 - T) = 0.

6. Подставим массы и теплоемкости в уравнение:
   - 0.081 * 920 * (T - 20) + 0.13 * 4200 * (100 - T) = 0.

7. Упростим уравнение:
   - 74.52 * (T - 20) + 546 * (100 - T) = 0.
   - 74.52T - 1490.4 + 54600 - 546T = 0.
   - -471.48T + 53109.6 = 0.
   - T = 53109.6 / 471.48 ≈ 112.63 °C.

ответ:
1. Установится температура стакана примерно 112.63 градуса Цельсия.