Дано:
- По цене 105 р. покупают 30 единиц товара.
- По цене 140 р. покупают 20 единиц товара.
- Поставщик продаёт 16 единиц товара по цене 120 р.
- Поставщик продаёт 12 единиц товара по цене 64 р.
Найти: Точку рыночного равновесия (цену и количество) и построить графики.
Решение:
1. Для начала составим уравнение для функции спроса. Из условия видно, что спрос изменяется с изменением цены, и предполагаем, что функция спроса линейна, т.е.:
Qd = a - b * P,
где Qd — количество спроса, P — цена товара, a и b — коэффициенты, которые нужно найти.
Используем два известных значения:
- При цене 105 р. спрос составляет 30 единиц:
30 = a - b * 105 (уравнение 1)
- При цене 140 р. спрос составляет 20 единиц:
20 = a - b * 140 (уравнение 2)
Решим эту систему уравнений.
Из уравнения 1:
a - b * 105 = 30
a = 30 + b * 105 (выражаем a через b)
Подставим a в уравнение 2:
30 + b * 105 - b * 140 = 20
30 - 20 = b * (140 - 105)
10 = b * 35
b = 10 / 35 = 2/7 ≈ 0.2857
Теперь подставим b = 0.2857 в уравнение 1, чтобы найти a:
a = 30 + 0.2857 * 105
a ≈ 30 + 30 = 60
Таким образом, функция спроса имеет вид:
Qd = 60 - 0.2857 * P.
2. Теперь составим уравнение для функции предложения. Мы знаем, что поставщик продаёт 16 единиц товара по цене 120 р. и 12 единиц товара по цене 64 р. Предполагаем, что предложение также зависит линейно от цены, т.е. функция предложения имеет вид:
Qs = c + d * P,
где Qs — количество предложения, P — цена товара, c и d — коэффициенты, которые нужно найти.
Используем два известных значения:
- При цене 120 р. предложение составляет 16 единиц:
16 = c + d * 120 (уравнение 3)
- При цене 64 р. предложение составляет 12 единиц:
12 = c + d * 64 (уравнение 4)
Решим эту систему уравнений.
Из уравнения 3:
c + d * 120 = 16
c = 16 - d * 120 (выражаем c через d)
Подставим c в уравнение 4:
16 - d * 120 + d * 64 = 12
16 - 12 = d * (120 - 64)
4 = d * 56
d = 4 / 56 = 1/14 ≈ 0.0714
Теперь подставим d = 0.0714 в уравнение 3, чтобы найти c:
c = 16 - 0.0714 * 120
c ≈ 16 - 8.57 = 7.43
Таким образом, функция предложения имеет вид:
Qs = 7.43 + 0.0714 * P.
3. Найдем точку рыночного равновесия. В точке равновесия количество спроса равно количеству предложения, т.е.:
Qd = Qs
60 - 0.2857 * P = 7.43 + 0.0714 * P
Переносим все слагаемые с P на одну сторону:
60 - 7.43 = 0.2857 * P + 0.0714 * P
52.57 = 0.3571 * P
Решаем для P:
P = 52.57 / 0.3571 ≈ 147.5
Теперь подставим P = 147.5 в одно из уравнений для спроса или предложения, чтобы найти количество:
Qd = 60 - 0.2857 * 147.5 ≈ 60 - 42.14 ≈ 17.86 ≈ 18
Ответ: Точка рыночного равновесия — (18; 147.5).
Для построения графиков:
1. График функции спроса будет прямой с уравнением Qd = 60 - 0.2857 * P.
2. График функции предложения будет прямой с уравнением Qs = 7.43 + 0.0714 * P.
Рынок находится в точке пересечения этих двух прямых, что и соответствует найденной точке рыночного равновесия (18; 147.5).