Question

Издержки  производства  некоторой  продукции  определяются  функцией  0,2x^2  +  40x,  где  x  —  число  единиц  продукции,  произведённой  за  месяц.  Эта  продукция  продаётся  по  цене  240  р.  за  изделие.  Сколько  изделий  нужно  произвести  и  продать,  чтобы  прибыль  была  максимальной?

Answer 1

Дано:
- Функция издержек: C(x) = 0,2x^2 + 40x, где x — количество произведённых единиц продукции.
- Цена продажи одного изделия: 240 р.
- Нужно найти количество изделий, которое нужно произвести и продать для максимизации прибыли.

Найдем решение:

1. Прибыль P(x) = Выручка - Издержки. Выручка W(x) = 240x (так как цена продажи 240 р. за изделие).
     Тогда прибыль:  
   P(x) = W(x) - C(x)  
   P(x) = 240x - (0,2x^2 + 40x)  
   P(x) = 240x - 0,2x^2 - 40x  
   P(x) = -0,2x^2 + 200x

2. Для нахождения максимума функции прибыли, найдём производную функции прибыли по x и приравняем её к нулю.
   dP(x)/dx = -0,4x + 200 = 0

   Решим это уравнение:
   -0,4x + 200 = 0  
   0,4x = 200  
   x = 200 / 0,4  
   x = 500

3. Таким образом, для максимальной прибыли нужно произвести и продать 500 изделий.

Ответ: 500 изделий.