Дано:
- Функция выработки: Q(x) = 7200x + 9x², где x — количество рабочих.
- Количество рабочих в сборочном цехе: x = 100 человек.
Найти:
а) Оцените изменение количества произведённой за неделю продукции, вызванное добавлением одного рабочего.
б) Рассчитайте точное значение прироста выработки за неделю, вызванного добавлением одного рабочего.
Решение:
а) Оценка изменения количества продукции:
Для оценки изменения количества продукции при добавлении одного рабочего можно использовать производную функции Q(x). Производная Q'(x) показывает, как изменяется выработка при изменении числа рабочих.
1. Найдём производную функции Q(x) по x:
Q'(x) = 7200 + 18x.
2. При x = 100 человек (начальное количество рабочих), подставим x = 100 в производную:
Q'(100) = 7200 + 18 * 100 = 7200 + 1800 = 9000.
3. Таким образом, изменение продукции при добавлении одного рабочего за день будет равно 9000 единиц продукции.
Так как речь идет о неделе (7 дней), то изменение выработки за неделю составит:
Изменение за неделю = 9000 * 7 = 63 000 единиц продукции.
Ответ для части (а):
Изменение выработки за неделю, вызванное добавлением одного рабочего, составит 63 000 единиц продукции.
б) Точное значение прироста выработки за неделю:
Для точного расчета прироста выработки необходимо вычислить разницу между количеством продукции с 100 и 101 рабочими за неделю.
1. Рассчитаем выработку при x = 100 и x = 101:
Q(100) = 7200 * 100 + 9 * 100² = 720000 + 90000 = 810000.
Q(101) = 7200 * 101 + 9 * 101² = 727200 + 9 * 10201 = 727200 + 91809 = 819009.
2. Прирост выработки при добавлении одного рабочего:
Прирост за день = Q(101) - Q(100) = 819009 - 810000 = 9009 единиц продукции.
3. Прирост за неделю:
Прирост за неделю = 9009 * 7 = 63 063 единиц продукции.
Ответ для части (б):
Точное значение прироста выработки за неделю, вызванного добавлением одного рабочего, составит 63 063 единицы продукции.