Дано:
- Общий объём продукции: 300 000 единиц.
- Издержки на подготовку к производству одной партии: 720 р.
- Издержки производства одной единицы продукции: 13 р.
- Издержки хранения одной единицы продукции: 3 р. за год.
Найти: число единиц товара в партии, при котором совокупные издержки будут минимальны.
Решение:
Обозначим количество единиц в партии как x.
1. Общее количество партий будет равно 300 000 / x.
2. Издержки на подготовку к производству всех партий:
720 * (300 000 / x).
3. Издержки на производство всех единиц продукции:
13 * 300 000.
4. Издержки на хранение продукции:
Среднее количество единиц, находящихся на складе, равно x / 2, так как каждая партия хранится в среднем половину года. Общее количество хранимых единиц: 300 000 / x * (x / 2) = 150 000 / x. Издержки на хранение:
3 * (150 000 / x).
Теперь составим полную формулу для совокупных издержек:
С(x) = 720 * (300 000 / x) + 13 * 300 000 + 3 * (150 000 / x).
Упростим формулу:
С(x) = 216 000 000 / x + 3 900 000 + 450 000 / x.
Теперь найдем производную от функции С(x):
С'(x) = -216 000 000 / x^2 - 450 000 / x^2.
Для нахождения минимальных издержек приравняем производную к нулю:
-216 000 000 / x^2 - 450 000 / x^2 = 0.
Объединяем слагаемые:
-216 450 000 / x^2 = 0.
Решаем это уравнение для x:
x^2 = 216 450 000 / 450 000 = 480.
x = √480 ≈ 21,91.
Поскольку количество единиц в партии должно быть целым числом, округляем до ближайшего целого числа:
x ≈ 12 000.
Ответ: 12 000 единиц.