Дано:
- АВ и CD — диаметры окружности.
- ∠CAB = 60°.
- DC = 5.
Найти:
длину хорды AC.
Решение:
1. Поскольку AB и CD являются диаметрами, угол ACB является прямым (90°) так как он опирается на диаметр.
2. В треугольнике ACB имеем:
∠ACB + ∠CAB + ∠ABC = 180°.
Так как ∠ACB = 90° и ∠CAB = 60°, то:
90° + 60° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - 150° = 30°.
3. Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны AC:
AC / sin(∠ABC) = AB / sin(∠CAB).
4. Сначала найдем длину AB. Так как CD является диаметром и его длина равна 5, следовательно, радиус r = DC / 2 = 5 / 2 = 2.5, а длина диаметра AB = 2 * r = 5.
5. Применим теорему синусов:
AC / sin(30°) = 5 / sin(60°).
6. Значения синусов:
sin(30°) = 0.5,
sin(60°) = √3/2.
7. Подставляя значения в уравнение:
AC / 0.5 = 5 / (√3/2),
AC / 0.5 = 10 / √3,
AC = 10 / √3 * 0.5,
AC = 5 / √3.
8. Чтобы представить результат в более удобной форме, умножим числитель и знаменатель на √3:
AC = (5 * √3) / 3.
Ответ:
длина хорды AC равна (5√3) / 3.