АВ  и  CD  —  диаметры  окружности  с  центром  О  (рис.  32).  Вписанный  угол САВ  равен  60.  Чему  равна  хорда  AC,  если  DC = 5?
от

1 Ответ

Дано:  
- АВ и CD — диаметры окружности.  
- ∠CAB = 60°.  
- DC = 5.  

Найти:  
длину хорды AC.  

Решение:  

1. Поскольку AB и CD являются диаметрами, угол ACB является прямым (90°) так как он опирается на диаметр.  

2. В треугольнике ACB имеем:  
∠ACB + ∠CAB + ∠ABC = 180°.  
Так как ∠ACB = 90° и ∠CAB = 60°, то:  
90° + 60° + ∠ABC = 180°  
∠ABC = 180° - 150° = 30°.  

3. Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны AC:  
AC / sin(∠ABC) = AB / sin(∠CAB).  

4. Сначала найдем длину AB. Так как CD является диаметром и его длина равна 5, следовательно, радиус r = DC / 2 = 5 / 2 = 2.5, а длина диаметра AB = 2 * r = 5.  

5. Применим теорему синусов:  
AC / sin(30°) = 5 / sin(60°).  

6. Значения синусов:
sin(30°) = 0.5,  
sin(60°) = √3/2.  

7. Подставляя значения в уравнение:  
AC / 0.5 = 5 / (√3/2),  
AC / 0.5 = 10 / √3,  
AC = 10 / √3 * 0.5,  
AC = 5 / √3.  

8. Чтобы представить результат в более удобной форме, умножим числитель и знаменатель на √3:  
AC = (5 * √3) / 3.  

Ответ:  
длина хорды AC равна (5√3) / 3.
от