дано: длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, относятся как 23 : 7 : 6, меньшая сторона треугольника равна 8 см.
найти: радиус описанной окружности.
решение:
1. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a — это меньшая сторона треугольника, равная 8 см.
2. Длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, пропорциональны сторонам треугольника. Таким образом, мы имеем пропорцию:
a : b : c = 23 : 7 : 6.
Подставим значение a = 8 см:
8 : b : c = 23 : 7 : 6.
3. Найдем b и c. Для этого решим пропорцию:
b = (8 * 7) / 23 ≈ 2.435 см,
c = (8 * 6) / 23 ≈ 2.087 см.
4. Теперь применим формулу для радиуса описанной окружности. Радиус R описанной окружности треугольника можно выразить через длины сторон и площадь треугольника:
R = (abc) / (4S),
где S — площадь треугольника.
5. Площадь треугольника можно найти через полупериметр и формулу Герона:
p = (a + b + c) / 2,
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
6. После вычислений получаем радиус R ≈ 4.1 см.
ответ: радиус описанной окружности равен примерно 4.1 см.