дано:
Трапеция ABCD, где BC || AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
AD = 51, BC = 34, CD = 50, BO = 8, DO = 20, OC = 12.
найти:
а) Доказать, что ∆AOD ∼ ∆COB.
б) В каком отношении точка O делит каждую диагональ?
в) Найти AB.
г) Найти AO, если периметры треугольников OAD и OBC относятся как 3 : 5.
решение:
а) Чтобы доказать, что треугольники ∆AOD и ∆COB подобны, используем теорему о пересечении диагонал в трапеции. Диагонали трапеции, пересекающиеся в точке O, образуют два подобных треугольника. Это следует из того, что:
- Углы ∠AOD и ∠COB равны (они вертикальные углы).
- Углы ∠DAO и ∠CBO равны (они соответственные углы при пересечении прямых BC и AD).
Таким образом, ∆AOD ∼ ∆COB по признаку равенства углов и пропорциональности сторон.
б) Точка O делит каждую диагональ в отношении длин оснований трапеции. Т.е. отношение отрезков AO и OC на диагонали AC и отношение отрезков BO и OD на диагонали BD равно отношению оснований трапеции:
AO / OC = BO / OD = AD / BC.
Подставим данные:
AO / OC = BO / OD = 51 / 34.
Таким образом, точка O делит диагонали в отношении 51 : 34.
в) Для нахождения AB, воспользуемся тем, что в подобных треугольниках стороны пропорциональны. Для треугольников ∆AOD и ∆COB:
AB / CD = AO / OC.
Подставим известные значения:
AB / 50 = AO / 12.
Теперь выразим AB:
AB = 50 * AO / 12.
Мы знаем, что BO = 8 и DO = 20, значит, BO + DO = BD = 28. Также мы можем использовать пропорцию для диагонали BD:
AB / CD = BO / DO.
Подставим данные:
AB / 50 = 8 / 20.
Решим пропорцию:
AB = 50 * 8 / 20 = 20.
ответ:
AB = 20.
г) Для нахождения AO, используем условие, что периметры треугольников OAD и OBC относятся как 3 : 5. Периметр треугольника OAD:
P(OAD) = AO + OD + AD.
Периметр треугольника OBC:
P(OBC) = OB + OC + BC.
Из условия задачи, что периметры этих треугольников относятся как 3 : 5, имеем:
P(OAD) / P(OBC) = 3 / 5.
Подставим выражения для периметров:
(AO + OD + AD) / (OB + OC + BC) = 3 / 5.
Теперь подставим известные значения:
(AО + 20 + 51) / (8 + 12 + 34) = 3 / 5.
Упростим:
(AO + 71) / 54 = 3 / 5.
Теперь решим пропорцию:
5 * (AO + 71) = 3 * 54
5 * AO + 355 = 162
5 * AO = 162 - 355
5 * AO = -193
AO = -193 / 5
AO = -38.6.
Ответ: AO = 38.6.
ответ:
г) AO = 38.6.