Дано:
- точка M — внешняя точка окружности,
- MN — отрезок касательной,
- секущая MN пересекает окружность в точках A и B,
- биссектриса угла NMB пересекает хорды NA и NB в точках C и D.
Найти: доказать, что NC = ND.
Решение:
Известно, что биссектриса угла NMB делит угол пополам, и она пересекает хорды NA и NB в точках C и D. Это условие приводит нас к применению теоремы о биссектрисе.
Теорема о биссектрисе утверждает, что биссектриса угла, образованного касательной и секущей, делит отрезки на хордовых секущих пропорционально. То есть, если биссектриса угла NMB пересекает хорды NA и NB в точках C и D, то выполняется соотношение:
NC / CA = ND / DB.
Поскольку NC / CA = ND / DB, можно сделать вывод, что отрезки NC и ND равны по длине, так как обе пропорции имеют одинаковые множители, а также одинаковую зависимость от отрезков на секущей.
Ответ: доказано, что NC = ND.