Из  точки  M  к  окружности  проведены  отрезок  касательной  MN  и  секущая,  пересекающая  окружность  в  точках  A  и  B.  Известно,  что  биссектриса  угла  NMB  пересекает  хорды  NA  и  NB  в  точках  C  и  D.  Докажите,  что  NC = ND
от

1 Ответ

Дано:  
- точка M — внешняя точка окружности,  
- MN — отрезок касательной,  
- секущая MN пересекает окружность в точках A и B,  
- биссектриса угла NMB пересекает хорды NA и NB в точках C и D.  

Найти: доказать, что NC = ND.  

Решение:  
Известно, что биссектриса угла NMB делит угол пополам, и она пересекает хорды NA и NB в точках C и D. Это условие приводит нас к применению теоремы о биссектрисе.

Теорема о биссектрисе утверждает, что биссектриса угла, образованного касательной и секущей, делит отрезки на хордовых секущих пропорционально. То есть, если биссектриса угла NMB пересекает хорды NA и NB в точках C и D, то выполняется соотношение:
NC / CA = ND / DB.

Поскольку NC / CA = ND / DB, можно сделать вывод, что отрезки NC и ND равны по длине, так как обе пропорции имеют одинаковые множители, а также одинаковую зависимость от отрезков на секущей.

Ответ: доказано, что NC = ND.
от