Дано:
- точка D — внешняя точка окружности, из которой проведены касательная DA и секущая, пересекающая окружность в точках B и C,
- биссектриса угла ADB пересекает хорды AB и AC в точках M и N.
Найти: доказать, что AM = AN.
Решение:
Для доказательства используем теорему о биссектрисе угла, пересекающем две хорды окружности.
Сначала вспомним важную теорему: если биссектриса угла, образованного касательной и секущей, пересекает хорды, то отрезки, на которые эта биссектриса делит эти хорды, пропорциональны прилежащим сегментам касательной и секущей.
В данном случае мы имеем:
- касательную DA,
- секущую, пересекающую окружность в точках B и C,
- биссектрису угла ADB, пересекающую хорды AB и AC в точках M и N.
Согласно теореме о биссектрисе, имеем следующее соотношение:
AM / MB = AN / NC.
Это соотношение следует из того, что биссектрисы углов, образуемых касательной и секущей, делят соответствующие хорды пропорционально.
Кроме того, из теоремы о касательной и секущей мы знаем, что касательная, проведенная из внешней точки, всегда делит углы, образуемые касательной и секущей, таким образом, что отрезки, на которые она делит хорды, равны.
Итак, поскольку AM / MB = AN / NC и отрезки MB и NC равны (так как они лежат на одной прямой, секущей BC, и соответствуют одному и тому же расстоянию), получаем, что:
AM = AN.
Таким образом, мы доказали, что AM = AN.
Ответ: AM = AN.