Из  точки  D  к  окружности  проведены  отрезок  касательной  DA  и  секущая,  пересекающая   окружность   в   точках   В   и   С.   Известно,   что   биссектриса   угла ADB   пересекает   хорды   АВ   и   АС   в   точках   M   и   N.   Докажите,   что   AM = AN
от

1 Ответ

Дано:  
- точка D — внешняя точка окружности, из которой проведены касательная DA и секущая, пересекающая окружность в точках B и C,  
- биссектриса угла ADB пересекает хорды AB и AC в точках M и N.

Найти: доказать, что AM = AN.  

Решение:  
Для доказательства используем теорему о биссектрисе угла, пересекающем две хорды окружности.

Сначала вспомним важную теорему: если биссектриса угла, образованного касательной и секущей, пересекает хорды, то отрезки, на которые эта биссектриса делит эти хорды, пропорциональны прилежащим сегментам касательной и секущей.

В данном случае мы имеем:
- касательную DA,  
- секущую, пересекающую окружность в точках B и C,  
- биссектрису угла ADB, пересекающую хорды AB и AC в точках M и N.

Согласно теореме о биссектрисе, имеем следующее соотношение:
AM / MB = AN / NC.

Это соотношение следует из того, что биссектрисы углов, образуемых касательной и секущей, делят соответствующие хорды пропорционально.

Кроме того, из теоремы о касательной и секущей мы знаем, что касательная, проведенная из внешней точки, всегда делит углы, образуемые касательной и секущей, таким образом, что отрезки, на которые она делит хорды, равны.

Итак, поскольку AM / MB = AN / NC и отрезки MB и NC равны (так как они лежат на одной прямой, секущей BC, и соответствуют одному и тому же расстоянию), получаем, что:
AM = AN.

Таким образом, мы доказали, что AM = AN.

Ответ: AM = AN.
от