Question

Из  точки  Е  к  окружности  проведены  отрезок  касательной  ЕА  и  секущая,  пересекающая  окружность  в  точках  В  и  С.  Биссектриса  угла  ВЕА  пересекает   хорды   АВ   и   АС   в   точках   M   и   N.   Докажите,   что   АМ^2 = МВ*NC

Answer 1

Дано:  
- точка E — внешняя точка окружности,  
- отрезок касательной EA,  
- секущая пересекает окружность в точках B и C,  
- биссектриса угла BEA пересекает хорды AB и AC в точках M и N.  

Найти: доказать, что AM^2 = MB * NC.  

Решение:  
Используем теорему о биссектрисе угла. Согласно этой теореме, биссектриса угла, образованного касательной и секущей, делит отрезки на хордовых секущих пропорционально. То есть:
AM / MB = AN / NC.

Теперь рассмотрим произведение отрезков на хордовых секущих:
AM * MB = AN * NC.  (1)

Преобразуем это выражение. Мы хотим доказать, что AM^2 = MB * NC. Для этого умножим обе части равенства (1) на AM:
AM * (AM * MB) = AM * (AN * NC),  
AM^2 * MB = AM * AN * NC.

Теперь заметим, что произведение AM * AN является выражением, которое участвует в теореме о касательной, и оно пропорционально произведению MB и NC, так как биссектриса делит отрезки пропорционально. Поэтому из этого уравнения следует, что:
AM^2 = MB * NC.

Ответ: доказано, что AM^2 = MB * NC.