дано:
- угол при вершине треугольника α = 120°
- длина медианы m = 6 см
найти:
- периметр треугольника
решение:
1. Рассмотрим равнобедренный треугольник. Медиана, проведённая к основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника, так как медиана делит основание пополам.
2. Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника α = 120°, то угол при основании будет равен:
угол при основании = (180° - 120°) / 2 = 30°.
3. Используем тригонометрию в одном из прямоугольных треугольников. В нём медиана m является высотой, а половина основания — прилежащим катетом:
sin(30°) = половина основания / m.
4. Подставляем значения:
sin(30°) = 1/2, следовательно, половина основания = m * sin(30°) = 6 * 1/2 = 3 см.
5. Таким образом, основание треугольника будет равно:
основание = 2 * половина основания = 2 * 3 = 6 см.
6. Теперь найдём боковую сторону треугольника. Для этого используем косинус угла 30°:
cos(30°) = прилежащий катет / боковая сторона.
7. В нашем случае прилежащий катет — это половина медианы (3 см), так что:
cos(30°) = 3 / боковая сторона.
8. Значение cos(30°) ≈ 0,866, подставляем:
0,866 = 3 / боковая сторона,
боковая сторона = 3 / 0,866 ≈ 3,46 см.
9. Периметр треугольника равен сумме всех сторон:
периметр = 2 * боковая сторона + основание = 2 * 3,46 + 6 = 6,92 + 6 = 12,92 см.
ответ:
периметр треугольника равен примерно 12,92 см.