Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где высота CH опущена на гипотенузу AB. Высота делит треугольник на два меньших треугольника AHC и BHC. Радиусы окружностей, вписанных в эти меньшие треугольники, обозначим как r1 и r2. Расстояние между центрами этих окружностей равно 1.
Найти:
Радиус окружности, вписанной в исходный треугольник ABC, обозначим как R.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности R можно выразить через его стороны a, b и c (гипотенуза):
R = (a + b - c) / 2.
2. Для меньших треугольников AHC и BHC радиусы вписанных окружностей можно выразить следующим образом:
r1 = (a + h - c1) / 2,
r2 = (b + h - c2) / 2,
где h — высота CH, а c1 и c2 — отрезки гипотенузы AB, на которые проецируются соответствующие стороны.
3. Рассмотрим расстояние d между центрами вписанных окружностей r1 и r2. Это расстояние можно найти из формулы:
d = |r1 - r2|.
4. Из условия задачи известно, что d = 1. Таким образом, мы можем записать уравнение:
|r1 - r2| = 1.
5. Подставляем выражения для r1 и r2:
|(a + h - c1)/2 - (b + h - c2)/2| = 1.
6. Упрощаем это уравнение:
|(a - b + c2 - c1)/2| = 1.
7. После этого, если решения для a, b, c1 и c2 известны, можно определить их значения. Однако, так как радиусы R, r1 и r2 связаны с высотой CH, то путем простого анализа мы можем заметить, что:
r1 + r2 = R, следовательно,
R = (r1 + r2) / 2.
8. Из предыдущего шага следует, что мы можем также считать радиусы r1 и r2 равными, если у нас есть условие d = 1. Тогда:
R = (d + 2r) / 2,
где r — радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.
Ответ:
Таким образом, радиус окружности, вписанной в исходный треугольник R равен 1.