Дано:
- Гипотенуза прямоугольного треугольника AB = 25 см.
- Высота, опущенная на гипотенузу, h = 12 см.
Найти: длины катетов.
Решение:
1. Пусть треугольник ABC прямоугольный, где угол C — прямой. Высота, проведенная из вершины C на гипотенузу AB, делит гипотенузу на два отрезка: AD и DB. Обозначим длины катетов как a и b.
2. Используем теорему о высоте прямоугольного треугольника на гипотенузу:
a * b = h²
Подставляем известные значения:
a * b = 12² = 144
Таким образом, произведение катетов равно 144.
3. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
a² + b² = 25² = 625
Теперь у нас есть система уравнений:
a * b = 144
a² + b² = 625
4. Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим a:
a = 144 / b
Подставим это в второе уравнение:
(144 / b)² + b² = 625
Решаем это уравнение:
20736 / b² + b² = 625
Умножим обе стороны на b², чтобы избавиться от знаменателя:
20736 + b⁴ = 625 * b²
Преобразуем это в квадратное уравнение относительно b²:
b⁴ - 625 * b² + 20736 = 0
Обозначим x = b². Тогда у нас получается квадратное уравнение:
x² - 625x + 20736 = 0
Решим его с помощью дискриминанта:
D = (-625)² - 4 * 1 * 20736 = 390625 - 82944 = 307681
Теперь находим корни уравнения:
x = (625 ± √307681) / 2 = (625 ± 555) / 2
x₁ = (625 + 555) / 2 = 590
x₂ = (625 - 555) / 2 = 35
Так как x = b², получаем:
b² = 590 → b ≈ 24.29 см
b² = 35 → b ≈ 5.92 см
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны примерно 24.29 см и 5.92 см.
Ответ: катеты треугольника равны 24.29 см и 5.92 см.