Пусть событие A - больной страдал от заболевания К, а событие B - больной был выписан здоровым. Нам нужно найти вероятность P(A|B).
Из условия задачи мы знаем следующие данные:
- В среднем 50% больных страдают от заболевания К, то есть P(K) = 0.5.
- Вероятность полного излечения болезни К равна 0.7, то есть P(B|K) = 0.7.
- В среднем 30% больных страдают от заболевания L, то есть P(L) = 0.3.
- Вероятность полного излечения болезни L равна 0.8, то есть P(B|L) = 0.8.
- В среднем 20% больных страдают от заболевания М, то есть P(M) = 0.2.
- Вероятность полного излечения болезни М равна 0.9, то есть P(B|M) = 0.9.
Нам также известно, что больной был выписан здоровым, то есть P(B) = 1 (так как выписка происходит только в случае полного излечения).
Мы можем использовать формулу Байеса для вычисления искомой вероятности:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
Найдем вероятность P(B):
P(B) = P(B|K) * P(K) + P(B|L) * P(L) + P(B|M) * P(M)
P(B) = 0.7 * 0.5 + 0.8 * 0.3 + 0.9 * 0.2
P(B) = 0.35 + 0.24 + 0.18
P(B) = 0.77
Теперь рассчитаем искомую вероятность:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
P(A|B) = P(B|K) * P(K) / P(B)
P(A|B) = 0.7 * 0.5 / 0.77
P(A|B) = 0.35 / 0.77
P(A|B) ≈ 0.4545
Итак, вероятность того, что больной, который был выписан здоровым, страдал от заболевания К, составляет примерно 0.4545 или 45.45%.