Дано:
Событие A — «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов». Событие B — «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов».
Найти:
Являются ли события A и B независимыми?
Решение:
Для того чтобы события A и B были независимыми, произведение вероятностей событий A и B должно быть равно вероятности произведения этих событий: P(A and B) = P(A) * P(B).
Посчитаем вероятности событий A и B:
Вероятность того, что стрелку потребовалось не более трех выстрелов (событие A):
P(A) = 1 - P(потребовалось четыре выстрела) - P(потребовалось пять выстрелов) = 1 - (1/2)^3 - (1/2)^4 = 1 - 1/8 - 1/16 = 7/16.
Вероятность того, что стрелку потребовалось не более пяти выстрелов (событие B):
P(B) = 1 - P(потребовалось шесть выстрелов) = 1 - (1/2)^5 = 1 - 1/32 = 31/32.
Теперь найдем вероятность произведения событий:
P(A and B) = P(потребовалось не более трех выстрелов и не более пяти выстрелов) = P(A) = 7/16.
P(A) * P(B) = (7/16) * (31/32) ≈ 0.341.
Мы видим, что P(A and B) не равно P(A) * P(B), поэтому события A и B не являются независимыми.
Ответ:
События A и B не являются независимыми.