Дано:
Из прямоугольника случайным образом выбирается точка.
Найти:
а) Вероятность того, что точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника;
б) Вероятность того, что точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей.
Решение:
а) Рассмотрим ромб, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника. Это означает, что стороны этого ромба равны половине соответствующих сторон прямоугольника. Площадь ромба можно выразить как половину произведения его диагоналей. Диагонали прямоугольника также являются диагоналями ромба. Пусть а и b - стороны прямоугольника, тогда диагонали ромба будут равны a и b. Таким образом, площадь ромба равна (a * b) / 2. Общая площадь прямоугольника равна a * b. Следовательно, вероятность того, что точка принадлежит ромбу, равному отношению площади ромба к площади прямоугольника, то есть ((a * b) / 2) / (a * b) = 1/2.
б) В треугольнике, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей, если прямоугольник имеет стороны a и b, то площадь такого треугольника будет равна (a * b) / 2, поскольку это половина площади прямоугольника. Таким образом, вероятность того, что точка принадлежит этому треугольнику, равна отношению площади этого треугольника к площади прямоугольника, то есть ((a * b) / 2) / (a * b) = 1/2.
Ответ:
а) Вероятность того, что точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника, равна 1/2.
б) Вероятность того, что точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей, также равна 1/2.