Дано:
X и Y независимы, одинаково распределены, и имеют конечный второй момент.
Найти:
Коэффициент корреляции ρ(X, X + Y).
Решение с расчетом:
Коэффициент корреляции между X и X + Y можно выразить как:
ρ(X, X + Y) = cov(X, X + Y) / (σX * σ(X + Y)),
где cov(X, X + Y) - ковариация между X и X + Y, σX и σ(X + Y) - стандартные отклонения X и X + Y соответственно.
Для начала найдем ковариацию cov(X, X + Y):
cov(X, X + Y) = E((X - μX)(X + Y - μ(X+Y))),
где μX и μ(X+Y) - математические ожидания X и X + Y соответственно.
Теперь найдем cov(X, X + Y):
cov(X, X + Y) = E(X^2 + XY - Xμ(X+Y) - μXX - μXY - μX^2),
где мы используем свойство линейности математического ожидания для раскрытия скобок.
Так как X и Y независимы, то E(XY) = E(X) * E(Y), а также X и X + Y связаны через простое линейное преобразование, поэтому μ(X + Y) = μX + μY.
Подставляя все значения, получаем cov(X, X + Y) = var(X).
Теперь найдем стандартные отклонения σX и σ(X + Y):
σX = sqrt(var(X)) и σ(X + Y) = sqrt(var(X + Y)).
Так как X и Y независимы и одинаково распределены, то var(X + Y) = var(X) + var(Y) = 2 * var(X).
Получаем стандартные отклонения: σX = sqrt(var(X)) и σ(X + Y) = sqrt(2 * var(X)).
Теперь можем найти коэффициент корреляции:
ρ(X, X + Y) = cov(X, X + Y) / (σX * σ(X + Y)) = var(X) / (sqrt(var(X)) * sqrt(2 * var(X))) = 1 / sqrt(2).
Ответ:
Коэффициент корреляции ρ(X, X + Y) равен 1 / sqrt(2).