Дано:
В первой коробке 5 белых шариков и 4 черных, во второй – 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 1 черный. Наугад выбирается коробка, и из нее извлекается два шарика. Оба шарика оказались белыми.
Найти:
Условную вероятность того, что шары извлекались из первой коробки.
Решение с расчетом:
Обозначим следующие события: A - оба шарика белые, B1 - выбрана первая коробка.
Вероятность выбора первой коробки:
P(B1) = 1/3, так как у нас три равновероятные коробки.
Вероятность извлечения двух белых шариков из первой коробки:
P(A|B1) = (5/9) * (4/8) = 5/18, так как после извлечения первого белого шарика в первой коробке остается 5 белых и 8 шариков всего, а после извлечения второго белого шарика остается 4 белых и 7 шариков всего.
Теперь мы можем использовать формулу условной вероятности:
P(B1|A) = P(A|B1) * P(B1) / P(A), где P(A) - полная вероятность события A.
Полная вероятность события A:
P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + P(A|B3) * P(B3) = (5/18)*(1/3) + (3/4)*(1/3) + (2/3)*(1/3) = 5/54 + 1/4 + 2/9 = 55/54.
Теперь можем найти искомую условную вероятность:
P(B1|A) = (5/18)*(1/3) / (55/54) = (5/54) / (55/54) = 5/55 = 1/11.
Ответ:
Итак, условная вероятность того, что шары извлекались из первой коробки, равна 1/11.