Дано:
Симметричную монету бросают три раза.
A - орлы и решки чередуются.
B - в первый раз выпал орёл.
Найти:
a) Являются ли эти события независимыми?
б) Найдите вероятность объединения этих событий.
Решение:
a) Для того чтобы события A и B были независимыми, вероятность события A не должна зависеть от того, выпадет ли орел в первый раз (событие B). Однако, если в первый раз выпал орел, то для события A уже будет известно, что вторым броском должна выпасть решка, чтобы орлы и решки чередовались. Следовательно, события A и B не являются независимыми.
б) Чтобы найти вероятность объединения этих событий, мы можем использовать формулу включения-исключения:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Вероятность события A:
P(A) = 1/2 (половина всех возможных последовательностей, где орлы и решки чередуются)
Вероятность события B:
P(B) = 1/2 (половина всех возможных последовательностей, где в первый раз выпал орел)
Вероятность одновременного наступления событий A и B (орлы и решки чередуются, и в первый раз выпал орел):
P(A ∩ B) = 1/4 (четверть всех возможных последовательностей)
Теперь можем найти вероятность объединения этих событий:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4
Ответ:
a) События A и B не являются независимыми.
б) Вероятность объединения этих событий равна 3/4.