Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна р, а вероятность неудачи равна q = 1 — р. Найдите вероятность события:
а) успех случится при втором испытании;
б) успех случится позже четвёртого испытания;
в) успех случится не позже шестого испытания;
г) для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний.
от

1 Ответ

а) Дано:
Испытания проводятся до наступления успеха. Вероятность успеха в каждом испытании равна p.

Найти:
Вероятность того, что успех случится при втором испытании.

Решение:
Успех произойдет при втором испытании только если первое испытание закончится неудачей, а второе - успехом.

P = q * p = (1 - p) * p.

б) Найдите вероятность того, что успех случится позже четвертого испытания.

Решение:
Успех произойдет после четвертого испытания, если первые четыре испытания закончатся неудачей.

P = q^4 = (1 - p)^4.

в) Найдите вероятность того, что успех случится не позже шестого испытания.

Решение:
Успех должен произойти не позже шестого испытания, что означает, что успех произойдет на первом, втором, третьем, четвертом, пятом или шестом испытаниях.

P = 1 - q^6 = 1 - (1 - p)^6.

г) Найдите вероятность того, что для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний.

Решение:
Это соответствует событию "успех на третьем испытании" + "успех на четвертом испытании" + "успех на пятом испытании".

P = P(успех на третьем испытании) + P(успех на четвертом испытании) + P(успех на пятом испытании)
  = (1 - p)^2 * p + (1 - p)^3 * p + (1 - p)^4 * p.

Ответ:
а) Вероятность успеха при втором испытании: (1 - p) * p.
б) Вероятность успеха позже четвертого испытания: (1 - p)^4.
в) Вероятность успеха не позже шестого испытания: 1 - (1 - p)^6.
г) Для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний: (1 - p)^2 * p + (1 - p)^3 * p + (1 - p)^4 * p.
от