Дано:
Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух.
Найти:
Вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Решение с расчетом:
Для того чтобы произведение xy было не больше единицы, необходимо, чтобы оба числа были меньше или равны 1. Таким образом, возможные значения для x и y – это отрезок [0,1].
Аналогично, чтобы частное y/x было не больше двух, необходимо, чтобы оба числа удовлетворяли условию y ≤ 2x. Это означает, что возможные значения для x и y – это область под графиком функции y=2x в квадрате со стороной 2.
Теперь найдем площадь области, в которой выполняются оба условия.
Это представляет собой треугольник с вершинами (0,0), (1/2, 1) и (1,2). Площадь этого треугольника равна 1/2.
Общая площадь возможных значений для x и y составляет квадрат со стороной 2, то есть 4.
Искомая вероятность равна отношению площади области, в которой выполняются оба условия, к общей площади возможных значений.
Итак, искомая вероятность равна 1/2 / 4 = 1/8.
Ответ:
Вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух: 1/8.