Дано:
В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, большее основание равно 8√3, один из углов трапеции равен 60°.
Найти:
Площадь трапеции.
Решение:
Пусть данная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, BC и AD - боковые стороны, AC - диагональ.
Так как трапеция равнобедренная, то у нее вершины находятся на окружности, вписанной в нее. Пусть O - центр вписанной окружности, тогда AO и CO являются радиусами этой окружности.
Также, так как BC перпендикулярна AC, то треугольник ABC является прямоугольным при вершине B.
Из условия угла 60° следует, что угол AOC = 120° (так как треугольник AOC также лежит на окружности).
Теперь мы имеем два равносторонних треугольника ACO и BCO, так как они соответственно равны по двум сторонам и углу между ними.
Поэтому AO = OC = BC/2 = 4√3.
Теперь найдем площадь треугольника AOC:
S_AOC = 0.5 * AC * AO = 0.5 * 8√3 * 4√3 = 48.
Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника AOC и прямоугольника ABCD.
Поскольку ABC прямоугольный, то его площадь равна S_ABC = 0.5 * AB * BC = 0.5 * 8√3 * 8 = 32√3.
Итак, S_trapezoid = S_AOC + S_ABC = 48 + 32√3 = 48 + 32√3.
Ответ:
Площадь трапеции равна 48 + 32√3.