Дано:
Радиус окружности R = 10 м
Нормальное ускорение точки а_n = 4.9 м/с²
Угол между векторами полного и нормального ускорений α = 60°
Найти:
Скорость и тангенциальное ускорение точки.
Решение:
В случае движения по криволинейной траектории скорость и ускорение точки можно разложить на нормальное (к центру кривизны) и тангенциальное (по направлению касательной) составляющие.
Так как угол α между векторами полного и нормального ускорений равен 60°, то угол между векторами полного и тангенциального ускорений также будет равен 60°.
1. Найдем полное ускорение точки:
a = sqrt(a_n^2 + a_t^2),
где a - полное ускорение, a_n - нормальное ускорение, a_t - тангенциальное ускорение.
2. Тангенциальное ускорение связано с изменением скорости по времени следующим образом:
a_t = dv/dt,
где v - скорость.
3. Так как траектория окружности, то абсолютная величина тангенциального ускорения равна модулю скорости умноженному на угловую скорость:
a_t = R * dθ / dt,
где θ - угол поворота.
4. Подставим известные значения:
a = sqrt((4.9)^2 + a_t^2),
a_t = R * dθ / dt,
cos(60°) = a_t / a => a_t = a * cos(60°).
5. Рассчитаем тангенциальное ускорение:
a_t = a * cos(60°) = sqrt((4.9)^2 + a_t^2) * cos(60°).
Получим a_t ≈ 2.45 м/с².
6. Для нахождения скорости воспользуемся тем, что скорость это производная от пути по времени:
v = R * dθ / dt,
тогда v = R * ω,
где ω - угловая скорость.
7. Заметим, что a_n = R * ω^2.
Теперь можем рассчитать скорость:
ω = v / R,
a_n = R * (v/R)^2,
a_n = v^2 / R,
4.9 = v^2 / 10,
v = sqrt(49) = 7 м/с.
Ответ:
Скорость точки равна 7 м/с, тангенциальное ускорение точки равно примерно 2.45 м/с².