Дано:
Массы грузов одинаковые: m.
Отношение жесткости жгута к жесткости пружины kж / kп = 4.
Максимальные скорости колебаний одинаковые: vмакс_жгута = vмакс_пружины.
Найти:
Отношение амплитуд колебаний Aж / Ап.
Решение:
1. Максимальная скорость vмакс для гармонического осцилятора выражается через амплитуду A и угловую частоту ω:
vмакс = A * ω.
2. Угловая частота ω определяется как:
ω = sqrt(k / m),
где k - жесткость, m - масса.
3. Для жгута (жесткость kж):
ωж = sqrt(kж / m).
vмакс_жгута = Aж * ωж = Aж * sqrt(kж / m).
4. Для пружины (жесткость kп):
ωп = sqrt(kп / m).
vмакс_пружины = Ап * ωп = Ап * sqrt(kп / m).
5. Поскольку максимальные скорости одинаковы, имеем:
Aж * sqrt(kж / m) = Ап * sqrt(kп / m).
6. Сократим на m:
Aж * sqrt(kж) = Ап * sqrt(kп).
7. Теперь выразим отношение амплитуд:
Aж / Ап = sqrt(kп / kж).
8. Подставим известное отношение жесткостей:
kж = 4 * kп.
9. Тогда:
Aж / Ап = sqrt(kп / (4 * kп)) = sqrt(1 / 4) = 1 / 2.
Ответ:
Отношение амплитуд колебаний Aж / Ап равно 1 / 2.