Дано:
m = 100 г = 0,1 кг (масса груза).
Δl = 10 см = 0,1 м (растяжение пружины под действием груза).
xmax = 10 см = 0,1 м (амплитуда смещения груза).
Найти:
1. Максимальную кинетическую энергию E_max.
2. Модуль максимального импульса P_max.
Решение:
1. Чтобы найти максимальную кинетическую энергию E_max, сначала определим жесткость пружины k. Жесткость можно найти по закону Гука:
F = k * Δl,
где F - сила тяжести, действующая на груз, равная m * g. Мы знаем, что g ≈ 9,81 м/с².
Таким образом:
F = m * g = 0,1 кг * 9,81 м/с² = 0,981 Н.
Теперь подставим в формулу:
0,981 Н = k * 0,1 м.
Решим для k:
k = 0,981 Н / 0,1 м = 9,81 Н/м.
Следующим шагом найдем максимальную кинетическую энергию E_max, которая в гармонических колебаниях равна потенциальной энергии в максимальном положении:
E_max = (1/2) * k * xmax².
Подставим известные значения:
E_max = (1/2) * 9,81 Н/м * (0,1 м)² = (1/2) * 9,81 * 0,01 = 0,04905 Дж.
Ответ для пункта 1:
Максимальная кинетическая энергия составляет примерно 0,049 Дж.
2. Теперь найдем модуль максимального импульса P_max. Импульс P связан с массой и скоростью v:
P = m * v.
Максимальная скорость v_max для гармонического осциллятора выражается как:
v_max = ω * xmax,
где угловая частота ω определяется через жесткость и массу:
ω = sqrt(k/m).
Сначала найдем ω:
ω = sqrt(9,81 Н/м / 0,1 кг) = sqrt(98,1) ≈ 9,9 рад/с.
Теперь найдем максимальную скорость v_max:
v_max = ω * xmax = 9,9 рад/с * 0,1 м ≈ 0,99 м/с.
Теперь вычислим модуль максимального импульса P_max:
P_max = m * v_max = 0,1 кг * 0,99 м/с = 0,099 кг·м/с.
Ответ для пункта 2:
Модуль максимального импульса груза составляет примерно 0,099 кг·м/с.