Дано:
Δl = 3 см = 0,03 м (смещение из положения равновесия).
v0 = 1 м/с (начальная скорость вниз).
ω = 25 рад/с (циклическая частота).
Найти:
Амплитуду колебаний A.
Решение:
1. Для определения амплитуды колебаний можно использовать уравнение гармонического колебания. В начальный момент времени t = 0 шарик находится в положении, которое можно записать как:
x(0) = A * cos(φ),
где φ - фаза колебаний в начальный момент времени.
2. Начальная скорость шарика связана с амплитудой и фазой следующим образом:
v(0) = -A * ω * sin(φ).
3. На момент t = 0 шарик смещен вниз на Δl и имеет скорость v0, то есть:
x(0) = -Δl = -0,03 м (отрицательное значение, так как вниз).
v(0) = -v0 = -1 м/с (также отрицательное, поскольку движение направлено вниз).
Теперь можем подставить известные значения в уравнения:
-0,03 = A * cos(φ) (1)
-1 = -A * ω * sin(φ) (2)
4. Из уравнения (2) выразим A:
A * sin(φ) = 1 / ω
A = 1 / (ω * sin(φ)) (3)
5. Подставим значение ω:
A = 1 / (25 * sin(φ)) (4)
6. Теперь из уравнения (1) выразим cos(φ):
cos(φ) = -0,03 / A (5)
7. С учетом тождества sin^2(φ) + cos^2(φ) = 1, подставим (4) и (5) в это тождество:
sin^2(φ) + (-0,03 / A)^2 = 1.
8. Выразим sin^2(φ):
sin^2(φ) = 1 - (0,03^2 / A^2).
9. Теперь подставляем (3) в выражение для sin(φ):
sin(φ) = 1 / (A * 25).
10. Подставляем это выражение в t с (9):
(1 / (A * 25))^2 + (0,03^2 / A^2) = 1.
11. Упростим уравнение:
1 / (625 * A^2) + 0,0009 / A^2 = 1.
12. Приведем к общему знаменателю:
(1 + 0,0009 * 625) / (625 * A^2) = 1.
13. Упростим:
1 + 0,5625 = 625 * A^2.
14. Таким образом:
625 * A^2 = 1.5625.
15. Решим для A:
A^2 = 1.5625 / 625,
A^2 = 0.0025,
A = sqrt(0.0025) = 0.05 м.
Ответ:
Амплитуда колебаний составляет 0,05 м или 5 см.