Дано:
Δl = 6,9 см = 0,069 м (уменьшение длины маятника)
n = 1,3 (во сколько раз увеличилась циклическая частота)
Найти:
Период колебаний маятника с первоначальной длиной T0.
Решение:
1. Циклическая частота ω связана с периодом T следующим образом:
ω = 2 * π / T.
2. Если первоначальная циклическая частота равна ω0, а новая циклическая частота равна ω1, то:
ω1 = n * ω0.
3. Также циклическая частота зависит от длины маятника L и ускорения свободного падения g:
ω0 = sqrt(g / L0) и ω1 = sqrt(g / L1),
где L0 - первоначальная длина маятника, а L1 - новая длина маятника.
4. Так как длина уменьшилась на Δl, можно записать:
L1 = L0 - Δl.
5. Подставляем в уравнение для новых частот:
sqrt(g / (L0 - Δl)) = n * sqrt(g / L0).
6. Убираем общий множитель sqrt(g):
sqrt(1 / (L0 - Δl)) = n * sqrt(1 / L0).
7. Возводим обе стороны в квадрат:
1 / (L0 - Δl) = n^2 / L0.
8. Переписываем уравнение:
L0 = n^2 * (L0 - Δl).
9. Раскрываем скобки:
L0 = n^2 * L0 - n^2 * Δl.
10. Переносим все термины с L0 влево:
L0 - n^2 * L0 = -n^2 * Δl.
11. Выносим L0 за скобки:
L0 * (1 - n^2) = -n^2 * Δl.
12. Разрешаем уравнение относительно L0:
L0 = -n^2 * Δl / (1 - n^2).
13. Подставим известные значения n и Δl:
L0 = -(1,3^2 * 0,069) / (1 - 1,3^2)
= -((1,69 * 0,069)) / (1 - 1,69)
= -(0,11661) / (-0,69)
≈ 0,169 м.
14. Теперь найдем период T0:
T0 = 2 * π * sqrt(L0 / g).
15. Подставим значение L0 и g:
T0 = 2 * π * sqrt(0,169 / 9,81).
16. Вычислим:
sqrt(0,169 / 9,81) ≈ sqrt(0,0172) ≈ 0,131.
17. Теперь подставим это значение в формулу для периода:
T0 ≈ 2 * π * 0,131 ≈ 0,825 с.
Ответ:
Период колебаний маятника с первоначальной длиной примерно равен 0,825 с.