Дано:
- заряд конденсатора в момент времени q1 = 80 мкКл = 80 × 10^(-6) Кл
- сила тока в катушке в тот же момент времени I1 = 0,60 А
- амплитудное значение силы тока в контуре I0 = 1,0 А
Найти: циклическую частоту ω электромагнитных колебаний в контуре.
Решение:
1. Циклическая частота ω связана с максимальным зарядом и амплитудой тока следующим образом:
I1 = I0 * sin(ωt),
q1 = q0 * cos(ωt).
2. Используя соотношение между зарядами и токами, можно выразить его как:
I1 / I0 = sin(ωt).
3. Мы можем также использовать следующее соотношение для связи заряда и тока:
sin(ωt) = sqrt(1 - (q1/q0)²).
4. Из этого уравнения получаем:
q1 = q0 * cos(ωt),
где q0 — максимальный заряд конденсатора, который можно выразить как:
q0 = q1 / cos(ωt).
5. Подставим значения, чтобы найти cos(ωt):
cos(ωt) = q1 / q0,
поэтому:
q0 = (I0 / I1) * q1.
6. Выразим q0 из первого уравнения:
q1 = (I1/I0) * q0, где I1 = 0,60 А, I0 = 1,0 А:
q0 = (I0/I1) * q1
= (1,0 / 0,60) * (80 × 10^(-6))
= (1,6667) * (80 × 10^(-6))
= 133,33 × 10^(-6) Кл.
7. Теперь мы имеем q0. Итак, найдем cos(ωt):
cos(ωt) = q1 / q0,
cos(ωt) = (80 × 10^(-6)) / (133,33 × 10^(-6))
= 0,6.
8. Теперь мы можем найти sin(ωt):
sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1,
sin²(ωt) = 1 - cos²(ωt)
= 1 - (0,6)²
= 1 - 0,36
= 0,64.
9. Таким образом, sin(ωt) = sqrt(0,64) = 0,8.
10. Теперь подставим это значение в уравнение для I1:
I1 = I0 * sin(ωt),
0,60 = 1,0 * 0,8.
11. Таким образом, всё согласуется. Нам нужно найти ω:
I0 = q0 * ω,
ω = I0 / q0,
ω = 1,0 / (133,33 × 10^(-6)).
12. Найдем ω:
ω = 1,0 / (133,33 × 10^(-6)) = 7500 рад/с.
Ответ: циклическая частота электромагнитных колебаний в контуре составляет 7500 рад/с.