Дано:
- преломляющий угол призмы ϕ = 30°;
- абсолютный показатель преломления стекла n = 1,7.
Найти: угол падения луча на верхнюю грань призмы α.
Решение:
1. Углы преломления и падения можно связать через закон Снеллиуса:
n1 * sin(α) = n2 * sin(β),
где n1 = 1 (воздух), β = ϕ - α.
Подставим:
sin(α) = 1,7 * sin(30° - α).
2. Значение sin(30°) равно 0,5:
sin(α) = 1,7 * sin(30° - α).
3. Используем формулу для синуса разности:
sin(30° - α) = sin(30°) * cos(α) - cos(30°) * sin(α).
Значения:
cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866.
Таким образом:
sin(30° - α) = 0,5 * cos(α) - 0,866 * sin(α).
4. Подставляем это в уравнение:
sin(α) = 1,7 * (0,5 * cos(α) - 0,866 * sin(α)).
5. Раскроем скобки:
sin(α) = 0,85 * cos(α) - 1,7 * 0,866 * sin(α).
6. Приведем подобные члены:
sin(α) + 1,7 * 0,866 * sin(α) = 0,85 * cos(α).
7. Обозначим k = 1 + 1,7 * 0,866:
k * sin(α) = 0,85 * cos(α),
где k ≈ 1 + 1,7 * 0,866 ≈ 1 + 1,469 ≈ 2,469.
8. Теперь подставим выражение для cos(α):
cos(α) = √(1 - sin²(α)).
9. Подставим это в уравнение:
2,469 * sin(α) = 0,85 * √(1 - sin²(α)).
10. Квадратируем обе стороны:
(2,469 * sin(α))² = (0,85)² * (1 - sin²(α)),
6,113 * sin²(α) = 0,7225 * (1 - sin²(α)).
11. Раскроем скобки:
6,113 * sin²(α) = 0,7225 - 0,7225 * sin²(α).
12. Переносим все слагаемые в одну сторону:
(6,113 + 0,7225) * sin²(α) = 0,7225,
6,8355 * sin²(α) = 0,7225,
sin²(α) = 0,7225 / 6,8355 ≈ 0,105.
13. Извлекаем корень:
sin(α) ≈ √0,105 ≈ 0,324.
14. Находим угол падения:
α ≈ arcsin(0,324) ≈ 18,9°.
Ответ: угол падения луча на верхнюю грань призмы α ≈ 18,9°.