Узкий пучок белого света падает из воздуха нормально на боковую грань прямой трехгранной стеклянной призмы с преломляющим углом ϕ = 30°. Определите угол между крайними лучами света при выходе его из призмы, если абсолютные показатели преломления стекла для них равны n1 = 1,62 и n2 = 1,67.
от

1 Ответ

Дано:
- преломляющий угол призмы ϕ = 30°
- показатели преломления стекла n1 = 1,62 для первого цвета
- показатели преломления стекла n2 = 1,67 для второго цвета

Найти:
- угол между крайними лучами света при выходе из призмы.

Решение:

1. Угол преломления при первом переходе (при входе в стекло) будет одинаковым для обоих цветов, так как пучок падает нормально на боковую грань призмы. Таким образом, угол падения α = 0°. При этом угол преломления β можно определить по закону Снеллиуса:

n1 * sin(α) = n * sin(β).

Для любого цвета при α = 0, sin(α) = 0, следовательно, sin(β) = 0 и β = 0°.

2. Теперь найдем угол преломления при выходе из призмы. Угол выхода θ можно найти с помощью закона Снеллиуса для выхода света из призмы:

n * sin(β) = n3 * sin(θ),

где n3 - показатель преломления воздуха (приблизительно равен 1), β - угол преломления на границе призмы.

Так как мы рассматриваем два разных показателя преломления, мы можем написать два уравнения для двух различных цветов:

Для первого цвета (n1 = 1,62):

1,62 * sin(β) = 1 * sin(θ1).

Для второго цвета (n2 = 1,67):

1,67 * sin(β) = 1 * sin(θ2).

3. Поскольку β - это угол преломления внутри призмы, его можно найти как:

β = ϕ - θ,

где θ - угол преломления на втором выходе.

4. Подставим β в уравнения:

θ1 = arcsin((1,62 / 1) * sin(β)),
θ2 = arcsin((1,67 / 1) * sin(β)).

5. Угол β равен (30° - θ). Теперь выразим θ1 и θ2 через угол 30°:

Для первого цвета:

θ1 = arcsin(1,62 * sin(30° - θ1)).
sin(30°) = 0,5, тогда:

θ1 = arcsin(1,62 * (0,5 * cos(θ1) - sin(θ1))).

Для второго цвета:

θ2 = arcsin(1,67 * sin(30° - θ2)).
θ2 = arcsin(1,67 * (0,5 * cos(θ2) - sin(θ2))).

6. После нахождения углов θ1 и θ2 можно вычислить угол между крайними лучами света:

Δθ = θ2 - θ1.

7. Для упрощения расчетов, давайте использовать приближенные значения sin(30°) и cos(30°):

sin(30°) = 0,5,
cos(30°) = √3 / 2 ≈ 0,866.

Отметим, что угол θ1 и θ2 будут различаться, так как каждый цвет имеет свое значение при выходе из призмы.

Выполним расчеты для углов θ:

θ1 = arcsin(1,62 * 0,5),
θ2 = arcsin(1,67 * 0,5).

8. Подставим значения:

θ1 = arcsin(0,81) ≈ 54,57°,
θ2 = arcsin(0,835) ≈ 57,15°.

9. Угол между крайними лучами:

Δθ = θ2 - θ1
Δθ = 57,15° - 54,57°.
Δθ ≈ 2,58°.

Ответ:
Угол между крайними лучами света при выходе из призмы составляет approximately 2,58°.
от