На одну из боковых граней стеклянной треугольной призмы, преломляющий угол которой ϕ = 75°, падает луч света и преломляется под углом, в два раза меньшим угла падения. Определите угол, под которым луч света падает на другую преломляющую грань, если абсолютный показатель преломления стекла n = √3
от

1 Ответ

Дано:
- преломляющий угол призмы ϕ = 75°;
- абсолютный показатель преломления стекла n = √3.

Найти: угол падения луча на другую преломляющую грань α2.

Решение:

1. Обозначим угол падения на первую грань как α1, тогда угол преломления β1 будет равен:

β1 = α1 / 2.

2. Применяем закон Снеллиуса для первой грани:

n1 * sin(α1) = n2 * sin(β1),

где n1 = 1 (воздух), n2 = √3 (стекло).

Подставим значения:

1 * sin(α1) = √3 * sin(α1 / 2).

3. Из этого уравнения можно выразить sin(α1):

sin(α1) = √3 * sin(α1 / 2).

4. Используем формулу для синуса разности:

sin(α1 / 2) = √((1 - cos(α1)) / 2).

5. Подставляем это в уравнение:

sin(α1) = √3 * √((1 - cos(α1)) / 2).

6. Упрощаем уравнение:

sin(α1) = √(3/2) * √(1 - cos(α1)).

7. Квадратируем обе стороны:

sin²(α1) = (3/2)(1 - cos(α1)).

8. Заменим cos(α1) через sin(α1):

cos(α1) = √(1 - sin²(α1)).

9. Подставляем:

sin²(α1) = (3/2)(1 - √(1 - sin²(α1))).

10. Приведем подобные члены и решим уравнение численно или графически, чтобы получить значение α1.

Пропустим шаги и сразу найдем значение α1:

Приблизительно мы можем взять α1 ≈ 60°, что приведет к β1 = 30°.

11. Теперь на второй грани угол преломления β2 можно найти по следующему уравнению:

β1 + β2 = ϕ,
то есть
30° + β2 = 75°,
отсюда
β2 = 75° - 30° = 45°.

12. Теперь применим закон Снеллиуса для второй грани:

n2 * sin(α2) = n1 * sin(β2),
где β2 = 45°.

Подставим значения:

√3 * sin(α2) = 1 * sin(45°).

13. Значение sin(45°) равно √2/2:

√3 * sin(α2) = √2/2.

14. Выразим sin(α2):

sin(α2) = (√2/2) / √3 = √2 / (2√3) = √6 / 6.

15. Теперь найдем угол α2:

α2 = arcsin(√6 / 6).

Ответ: угол, под которым луч света падает на другую преломляющую грань α2 ≈ 25°.
от