Дано:
- преломляющий угол призмы ϕ = 75°;
- абсолютный показатель преломления стекла n = √3.
Найти: угол падения луча на другую преломляющую грань α2.
Решение:
1. Обозначим угол падения на первую грань как α1, тогда угол преломления β1 будет равен:
β1 = α1 / 2.
2. Применяем закон Снеллиуса для первой грани:
n1 * sin(α1) = n2 * sin(β1),
где n1 = 1 (воздух), n2 = √3 (стекло).
Подставим значения:
1 * sin(α1) = √3 * sin(α1 / 2).
3. Из этого уравнения можно выразить sin(α1):
sin(α1) = √3 * sin(α1 / 2).
4. Используем формулу для синуса разности:
sin(α1 / 2) = √((1 - cos(α1)) / 2).
5. Подставляем это в уравнение:
sin(α1) = √3 * √((1 - cos(α1)) / 2).
6. Упрощаем уравнение:
sin(α1) = √(3/2) * √(1 - cos(α1)).
7. Квадратируем обе стороны:
sin²(α1) = (3/2)(1 - cos(α1)).
8. Заменим cos(α1) через sin(α1):
cos(α1) = √(1 - sin²(α1)).
9. Подставляем:
sin²(α1) = (3/2)(1 - √(1 - sin²(α1))).
10. Приведем подобные члены и решим уравнение численно или графически, чтобы получить значение α1.
Пропустим шаги и сразу найдем значение α1:
Приблизительно мы можем взять α1 ≈ 60°, что приведет к β1 = 30°.
11. Теперь на второй грани угол преломления β2 можно найти по следующему уравнению:
β1 + β2 = ϕ,
то есть
30° + β2 = 75°,
отсюда
β2 = 75° - 30° = 45°.
12. Теперь применим закон Снеллиуса для второй грани:
n2 * sin(α2) = n1 * sin(β2),
где β2 = 45°.
Подставим значения:
√3 * sin(α2) = 1 * sin(45°).
13. Значение sin(45°) равно √2/2:
√3 * sin(α2) = √2/2.
14. Выразим sin(α2):
sin(α2) = (√2/2) / √3 = √2 / (2√3) = √6 / 6.
15. Теперь найдем угол α2:
α2 = arcsin(√6 / 6).
Ответ: угол, под которым луч света падает на другую преломляющую грань α2 ≈ 25°.