Дано:
- 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
- Необходимо найти количество незамкнутых и замкнутых ломаных, которые можно построить, соединяя эти точки.
Найти:
a) Количество незамкнутых ломаных.
b) Количество замкнутых ломаных.
Решение:
a) Незамкнутые ломаные:
1. Чтобы определить количество возможных незамкнутых ломаных, рассмотрим все возможные комбинации точек.
2. Для построения незамкнутой ломаной необходимо выбрать от 2 до 6 точек, а затем соединить их в каком-то порядке. Количество способов выбора k точек из 6 можно вычислить с помощью комбинаций C(6, k).
Для каждой такой комбинации точек можно построить (k - 1)! ломаных, где (k - 1)! — количество способов упорядочить k точек.
Таким образом, общее количество незамкнутых ломаных будет суммой всех возможных ломаных для каждой группы точек:
∑_{k=2}^{6} C(6, k) * (k - 1)!
3. Рассчитаем каждое значение:
- Для k = 2: C(6, 2) * (2 - 1)! = 15 * 1 = 15
- Для k = 3: C(6, 3) * (3 - 1)! = 20 * 2 = 40
- Для k = 4: C(6, 4) * (4 - 1)! = 15 * 6 = 90
- Для k = 5: C(6, 5) * (5 - 1)! = 6 * 24 = 144
- Для k = 6: C(6, 6) * (6 - 1)! = 1 * 120 = 120
Суммируем все значения:
15 + 40 + 90 + 144 + 120 = 409.
Ответ для части а):
Количество незамкнутых ломаных равно 409.
b) Замкнутые ломаные:
1. Замкнутая ломаная отличается от незамкнутой тем, что она замкнута в кольцо. Для k точек количество возможных замкнутых ломаных можно найти, переставив k точек по кругу, что дает (k - 1)! / 2 способов (так как один и тот же круг может быть ориентирован в двух направлениях).
2. Общее количество замкнутых ломаных можно вычислить так же, как и для незамкнутых ломаных, но нужно учитывать, что замкнутые ломаные будут корректны только для k ≥ 3.
Таким образом, общее количество замкнутых ломаных будет:
∑_{k=3}^{6} C(6, k) * ((k - 1)! / 2).
3. Рассчитаем каждое значение:
- Для k = 3: C(6, 3) * (2)! / 2 = 20 * 2 / 2 = 20
- Для k = 4: C(6, 4) * (3)! / 2 = 15 * 6 / 2 = 45
- Для k = 5: C(6, 5) * (4)! / 2 = 6 * 24 / 2 = 72
- Для k = 6: C(6, 6) * (5)! / 2 = 1 * 120 / 2 = 60
Суммируем все значения:
20 + 45 + 72 + 60 = 197.
Ответ для части б):
Количество замкнутых ломаных равно 197.