Дано:
Углы треугольника: α, β и γ, где α + β + γ = 180°.
Условие: sin²α + sin²β = sin²γ.
Найти:
Доказать, что треугольник является прямоугольным.
Решение:
1. По свойству углов в треугольнике мы знаем, что γ = 180° - (α + β).
2. Используем основное тригонометрическое тождество для синуса:
sin(180° - x) = sin(x). Таким образом,
sinγ = sin(α + β).
3. Теперь применим формулу для синуса суммы углов:
sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ.
4. Подставляем это выражение в условие:
sin²α + sin²β = (sinα * cosβ + cosα * sinβ)².
5. Раскроем квадрат справа:
sin²α + sin²β = sin²α * cos²β + 2sinα * cosβ * cosα * sinβ + cos²α * sin²β.
6. Упрощаем уравнение:
sin²α + sin²β - sin²α * cos²β - cos²α * sin²β - 2sinα * cosα * cosβ * sinβ = 0.
7. Для удобства обозначим A = sin²α и B = sin²β, тогда у нас получается:
A + B - A * cos²β - B * cos²α - 2 * sqrt(A * B) * cosα * cosβ = 0.
8. Зная, что в треугольнике выполняется соотношение A + B = sin²γ, мы можем подставить это обратно в начальное уравнение.
9. Поскольку A + B = sin²γ и по условию задачи A + B = sin²γ, то можем сделать вывод о том, что два из этих слагаемых равны нулю.
10. Это может произойти только в случае, если один из углов является 90°. Таким образом, либо α = 90°, либо β = 90°, либо γ = 90°.
11. Следовательно, так как один из углов равен 90°, значит данный треугольник является прямоугольным.
Ответ:
Треугольник, для которого выполняется условие sin²α + sin²β = sin²γ, является прямоугольным.