Дано:
Треугольник с углами α, β и γ, радиусами описанной окружности R и вписанной окружности r.
Найти:
Доказать, что площадь S треугольника можно вычислить по формуле: S = R · r (sinα + sinβ + sinγ).
Решение:
1. Начнем с известной формулы для площади треугольника через радиус описанной окружности:
S = (abc) / (4R),
где a, b и c — стороны треугольника.
2. Также известно, что площадь треугольника может быть выражена через радиус вписанной окружности:
S = p * r,
где p — полупериметр треугольника, p = (a + b + c) / 2.
3. Сумма синусов углов треугольника может быть записана как:
sinα + sinβ + sinγ = (a/R) + (b/R) + (c/R) = (a + b + c) / R = (2p) / R.
4. Подставим это выражение в нашу исходную формулу:
sinα + sinβ + sinγ = (2p) / R.
5. Таким образом, получаем:
S = p * r = (2p) / (2R) * R * r = R * r * (sinα + sinβ + sinγ).
6. Это завершает доказательство, так как мы выразили площадь S в терминах R, r и суммы синусов углов.
Ответ:
Площадь треугольника действительно можно вычислять по формуле S = R · r (sinα + sinβ + sinγ).