Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором отмечены середины всех сторон: M, N, O, и P соответственно. Пусть M — середина отрезка AB, N — середина отрезка BC, O — середина отрезка CD, P — середина отрезка DA.
Найти:
Докажите, что точки M, N, O и P образуют параллелограмм.
Решение:
1. Рассмотрим векторное представление:
Пусть векторы A, B, C и D представляют вершины четырехугольника ABCD. Обозначим середины сторон как:
- M = (A + B) / 2
- N = (B + C) / 2
- O = (C + D) / 2
- P = (D + A) / 2
2. Найдем вектор MN:
Вектор MN равен:
MN = N - M
= [(B + C) / 2] - [(A + B) / 2]
= (B + C - A - B) / 2
= (C - A) / 2
3. Найдем вектор OP:
Вектор OP равен:
OP = P - O
= [(D + A) / 2] - [(C + D) / 2]
= (D + A - C - D) / 2
= (A - C) / 2
4. Проверим, что MN и OP параллельны:
Векторы MN и OP равны по модулю, но противоположны по направлению:
MN = (C - A) / 2
OP = (A - C) / 2
Поэтому MN и OP параллельны и имеют равные длины, что доказывает, что MN || OP и MN = -OP.
5. Найдем вектор NO:
Вектор NO равен:
NO = O - N
= [(C + D) / 2] - [(B + C) / 2]
= (C + D - B - C) / 2
= (D - B) / 2
6. Найдем вектор MP:
Вектор MP равен:
MP = P - M
= [(D + A) / 2] - [(A + B) / 2]
= (D + A - A - B) / 2
= (D - B) / 2
7. Проверим, что NO и MP параллельны:
Векторы NO и MP равны:
NO = (D - B) / 2
MP = (D - B) / 2
Поэтому NO и MP параллельны и равны по длине, что доказывает, что NO || MP и NO = MP.
Мы доказали, что противоположные стороны многоугольника, образованного точками M, N, O и P, параллельны и равны по длине. Таким образом, M, N, O и P образуют параллелограмм.
Ответ:
Точки M, N, O и P образуют параллелограмм.