Дано:
Треугольник ABC, вписанная в него окружность касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Соединим точки D, E и F с противоположными вершинами A, B и C.
Найти:
Докажите, что отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Решение:
1. Обозначим точки касания:
- D — точка касания с BC,
- E — точка касания с CA,
- F — точка касания с AB.
2. Поскольку D, E и F — точки касания вписанной окружности, отрезки AD, BE и CF являются биссектрисами углов A, B и C соответственно.
3. По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону пропорционально длинам прилежащих сторон.
4. Рассмотрим треугольники ABD и ACF:
- Биссектрисы AD и BE делят угол A, и по свойству подобия треугольников выполняется следующее: отношение отрезков на стороне BC равно отношению сторон AB и AC.
5. Аналогично, биссектрисы BE и CF делят угол B, а биссектрисы CF и AD делят угол C.
6. Поскольку все три отрезка пересекаются, и каждая из биссектрис делит угол на две равные части, треугольники, образованные этими отрезками, будут подобны.
7. По теореме о пересечении биссектрис в треугольнике, все три биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.
Ответ:
Отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке (инцентре треугольника).