Дано: на плоскости отмечены 101 точки, не все из которых лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек проведена прямая.
Найти: точка на плоскости, через которую проходит не менее 11 красных прямых.
Решение:
1. Пусть на плоскости есть 101 точка, и через каждую пару этих точек проведена прямая. Всего будет C(101, 2) = 101*100/2 = 5050 прямых.
2. Обозначим количество прямых, проходящих через каждую точку. Если точка имеет координаты (x_i, y_i), то все прямые, проходящие через эту точку и любую другую точку (x_j, y_j), будут описаны уравнением.
3. Посчитаем общее количество прямых, проходящих через какую-либо точку. Обозначим эту точку как P. Через P можно провести прямую, соединяющую P с любой из остальных 100 точек, т.е. таких прямых будет 100.
4. Пусть каждая прямая проходит через 2 точки. Поэтому общее количество прямых делится между всеми точками. Каждая прямая соединяет две точки, так что для каждой прямой существует только 1 пересечение через одну точку.
5. Теперь воспользуемся принципом Дирихле. Если 5050 прямых распределить между 101 точками, то среднее количество прямых, проходящих через каждую точку, будет 5050 / 101 ≈ 50.
6. Чтобы каждая точка была связана не менее чем с 11 прямыми, используем индукцию. Пусть предположим, что ни одна точка не имеет менее 11 прямых. Тогда для 101 точек минимальное количество прямых будет 11*101 = 1111, что меньше 5050, следовательно, в каждом случае найдется хотя бы одна точка, через которую проходит не менее 11 прямых.
Ответ: На плоскости существует точка, через которую проходит не менее 11 красных прямых.