дано:
- Каждая из последних 4 цифр телефонного номера может принимать значения от 0 до 9.
- Общее количество возможных цифр = 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
найти:
а) вероятность того, что среди 4 цифр не окажется одинаковых
б) вероятность того, что совпадут ровно две цифры
решение:
а) Для нахождения вероятности того, что среди 4 цифр не окажется одинаковых:
1. Общее количество способов выбрать 4 цифры из 10, если они не могут повторяться:
Для первой цифры — 10 вариантов, для второй — 9, для третьей — 8, для четвёртой — 7.
Общее количество благоприятных исходов:
Количество способов = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040.
2. Общее количество способов выбрать любые 4 цифры (с повторениями):
Поскольку каждая цифра может принимать 10 значений, общее количество всех возможных комбинаций:
Общее количество исходов = 10^4 = 10,000.
3. Вероятность того, что среди 4 цифр не окажется одинаковых:
P(без одинаковых) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов
P(без одинаковых) = 5040 / 10,000 = 0.504.
б) Для нахождения вероятности того, что совпадут ровно две цифры:
1. Сначала выберем, какие 2 из 4 цифр будут одинаковыми. Это можно сделать C(4, 2) способами:
C(4, 2) = 6.
2. Затем выберем, какие цифры будут одинаковыми. У нас есть 10 возможных цифр, и мы можем выбрать 1 из них:
Количество способов = 10.
3. Теперь для оставшихся 2 цифр, которые должны отличаться от одинаковой и друг от друга, мы можем выбрать 2 цифры из оставшихся 9 (так как одна уже выбрана):
Количество способов = C(9, 2) = 9 * 8 / 2! = 36.
4. Каждая из оставшихся 2 цифр может занимать 2 места, что даёт 2! = 2 способа их расположить.
5. Общее количество благоприятных исходов:
Общее количество благоприятных исходов = C(4, 2) * 10 * C(9, 2) * 2!
Общее количество благоприятных исходов = 6 * 10 * 36 * 2 = 4320.
6. Вероятность того, что совпадут ровно две цифры:
P(ровно две совпадут) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов
P(ровно две совпадут) = 4320 / 10,000 = 0.432.
ответ:
а) 0.504
б) 0.432