а) Дано:
Событие A: "в первый раз выпал орёл"
Событие B: "во второй раз выпала решка"
Найти:
Являются ли события A и B независимыми.
Решение:
События независимы, если выполняется условие:
P(A∩B) = P(A) * P(B).
Теперь найдем вероятности событий A и B:
P(A) = 1/2 (вероятность того, что в первый раз выпал орёл)
P(B) = 1/2 (вероятность того, что во второй раз выпала решка)
Теперь определим вероятность пересечения событий A и B:
Событие A не влияет на событие B, поэтому:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Проверяем:
P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Таким образом, мы имеем:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = 1/4.
Ответ:
События A и B являются независимыми.
б) Дано:
Событие A: "при первом броске выпал орёл"
Событие B: "орёл выпал хотя бы один раз"
Найти:
Являются ли события A и B независимыми.
Решение:
События независимы, если выполняется условие:
P(A∩B) = P(A) * P(B).
Сначала найдем вероятности событий A и B:
P(A) = 1/2 (вероятность того, что при первом броске выпал орёл)
Теперь найдем вероятность события B:
Событие B наступает, если:
1. Выпал орёл при первом броске
2. Выпал орёл при втором броске
3. Выпали оба орла
Возможные исходы при двух бросках:
1. Орёл-Орёл
2. Орёл-Решка
3. Решка-Орёл
4. Решка-Решка
Из этих 4-х исходов только 1 исход (Решка-Решка) не включает орла, следовательно:
P(B) = 3/4.
Теперь найдем вероятность пересечения событий A и B:
P(A∩B) = P(A) (так как при выпадении орла в первый раз событие B уже выполняется).
Таким образом, P(A∩B) = P(A) = 1/2.
Теперь проверим условие независимости:
P(A) * P(B) = (1/2) * (3/4) = 3/8.
Сравниваем:
P(A∩B) = 1/2
P(A) * P(B) = 3/8.
Ответ:
События A и B не являются независимыми.