Монету бросают два раза. Являются ли независимыми события:
а)  А «в первый раз выпал орёл» и В «во второй раз выпала решка»;
б)  А «при первом броске выпал орёл» и В «орёл выпал хотя бы один раз»?
от

1 Ответ

а) Дано:
Событие A: "в первый раз выпал орёл"  
Событие B: "во второй раз выпала решка"

Найти:
Являются ли события A и B независимыми.

Решение:

События независимы, если выполняется условие:
P(A∩B) = P(A) * P(B).

Теперь найдем вероятности событий A и B:
P(A) = 1/2 (вероятность того, что в первый раз выпал орёл)  
P(B) = 1/2 (вероятность того, что во второй раз выпала решка)

Теперь определим вероятность пересечения событий A и B:
Событие A не влияет на событие B, поэтому:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.

Проверяем:
P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.

Таким образом, мы имеем:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = 1/4.

Ответ:
События A и B являются независимыми.

б) Дано:
Событие A: "при первом броске выпал орёл"  
Событие B: "орёл выпал хотя бы один раз"

Найти:
Являются ли события A и B независимыми.

Решение:

События независимы, если выполняется условие:
P(A∩B) = P(A) * P(B).

Сначала найдем вероятности событий A и B:
P(A) = 1/2 (вероятность того, что при первом броске выпал орёл)

Теперь найдем вероятность события B:
Событие B наступает, если:
1. Выпал орёл при первом броске
2. Выпал орёл при втором броске
3. Выпали оба орла

Возможные исходы при двух бросках:
1. Орёл-Орёл
2. Орёл-Решка
3. Решка-Орёл
4. Решка-Решка

Из этих 4-х исходов только 1 исход (Решка-Решка) не включает орла, следовательно:
P(B) = 3/4.

Теперь найдем вероятность пересечения событий A и B:
P(A∩B) = P(A) (так как при выпадении орла в первый раз событие B уже выполняется).

Таким образом, P(A∩B) = P(A) = 1/2.

Теперь проверим условие независимости:
P(A) * P(B) = (1/2) * (3/4) = 3/8.

Сравниваем:
P(A∩B) = 1/2
P(A) * P(B) = 3/8.

Ответ:
События A и B не являются независимыми.
от