а) Дано:
Событие A: "при первом броске выпала шестёрка"
Событие B: "при втором броске выпало меньше трёх очков"
Найти:
Являются ли события A и B независимыми.
Решение:
События независимы, если выполняется условие:
P(A∩B) = P(A) * P(B).
Теперь найдем вероятности событий A и B:
P(A) = 1/6 (вероятность того, что при первом броске выпала шестёрка)
P(B) = 2/6 = 1/3 (вероятность того, что при втором броске выпало меньше трёх очков: либо 1, либо 2)
Теперь определим вероятность пересечения событий A и B:
Событие A (выпадение шестёрки) не влияет на событие B (выпадение очка меньше трех во втором броске), поэтому:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/3) = 1/18.
Проверяем:
P(A) * P(B) = (1/6) * (1/3) = 1/18.
Таким образом, мы имеем:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = 1/18.
Ответ:
События A и B являются независимыми.
б) Дано:
Событие A: "при первом броске выпало больше трёх очков"
Событие B: "сумма выпавших очков меньше девяти"
Найти:
Являются ли события A и B независимыми.
Решение:
Сначала найдем вероятности событий A и B:
P(A) = 3/6 = 1/2 (возможные исходы: 4, 5, 6)
Теперь найдем вероятность события B:
Для события B сумма двух бросков должна быть меньше девяти. Возможные суммы и соответствующие комбинации значений:
- Сумма 2: (1, 1)
- Сумма 3: (1, 2), (2, 1)
- Сумма 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
- Сумма 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
- Сумма 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
- Сумма 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
- Сумма 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
Итак, у нас есть 15 возможных способов, чтобы получить сумму меньше 9. Всего возможных исходов при двух бросках 36.
P(B) = 15/36 = 5/12.
Теперь найдем вероятность пересечения событий A и B:
Если при первом броске выпало больше трех очков (4, 5, или 6), то нужно проверить, какие значения второго броска дадут сумму меньше 9:
- Если первый бросок 4: второй должен быть 1, 2, 3, 4.
- Если первый бросок 5: второй должен быть 1, 2, 3.
- Если первый бросок 6: второй может быть только 1, 2.
Таким образом, количество успешных исходов для A∩B:
- Для 4: 4 успешных исхода
- Для 5: 3 успешных исхода
- Для 6: 2 успешных исхода
Всего: 4 + 3 + 2 = 9 успешных исходов.
Следовательно:
P(A∩B) = 9/36 = 1/4.
Теперь проверяем независимость:
P(A) * P(B) = (1/2) * (5/12) = 5/24.
Сравниваем:
P(A∩B) = 1/4 = 6/24
P(A) * P(B) = 5/24.
Ответ:
События A и B не являются независимыми.