дано:
количество испытаний n = 12,
вероятность успеха p = 0.4,
вероятность неудачи q = 1 - p = 0.6.
найти:
а) какое событие более вероятно — A «ровно 3 успеха» или B «ровно 4 успеха»;
б) какое событие более вероятно — A «ровно 5 успехов» или B «ровно 6 успехов».
решение:
Вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
1. Для пункта а) найдем P(A) и P(B):
- Вычислим P(A) для k = 3:
C(12, 3) = 12! / (3! * 9!) = 220.
P(A) = C(12, 3) * (0.4)^3 * (0.6)^(12 - 3)
= 220 * (0.4)^3 * (0.6)^9
= 220 * 0.064 * 0.010077696
≈ 220 * 0.000645
≈ 0.1419.
- Вычислим P(B) для k = 4:
C(12, 4) = 12! / (4! * 8!) = 495.
P(B) = C(12, 4) * (0.4)^4 * (0.6)^(12 - 4)
= 495 * (0.4)^4 * (0.6)^8
= 495 * 0.0256 * 0.01679616
≈ 495 * 0.000430
≈ 0.2133.
Теперь сравним вероятности:
P(A) ≈ 0.1419,
P(B) ≈ 0.2133.
Событие B более вероятно.
2. Для пункта б) найдем P(A) и P(B):
- Вычислим P(A) для k = 5:
C(12, 5) = 12! / (5! * 7!) = 792.
P(A) = C(12, 5) * (0.4)^5 * (0.6)^(12 - 5)
= 792 * (0.4)^5 * (0.6)^7
= 792 * 0.01024 * 0.279936
≈ 792 * 0.002867
≈ 2.267.
- Вычислим P(B) для k = 6:
C(12, 6) = 12! / (6! * 6!) = 924.
P(B) = C(12, 6) * (0.4)^6 * (0.6)^(12 - 6)
= 924 * (0.4)^6 * (0.6)^6
= 924 * 0.004096 * 0.46656
≈ 924 * 0.001913
≈ 1.770.
Теперь сравним вероятности:
P(A) ≈ 2.267,
P(B) ≈ 1.770.
Событие A более вероятно.
ответ:
а) событие B «ровно 4 успеха» более вероятно;
б) событие A «ровно 5 успехов» более вероятно.